et celles de beaucoup d’autres fonctions pareilles, en les arrêtant au point où la variable devient négative ; mais, ce moyen étant indirect, j’ai cherché une méthode directe pour obtenir ces approximations, et j’y suis parvenu à l’aide d’équations aux différences partielles finies et infiniment petites dont ces fonctions dépendent, ce qui conduit à divers théorèmes curieux. Ces approximations se déduisent encore très simplement du passage réciproque des résultats imaginaires aux résultats réels, dont j’ai donné divers exemples dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences et tout récemment dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique. Il est analogue à celui des nombres entiers positifs, aux nombres négatifs et aux nombres fractionnaires, passage dont les géomètres ont su tirer, par induction, beaucoup d’importants théorèmes ; employé comme lui avec réserve, il devient un moyen fécond de découvertes, et il montre de plus en plus la généralité de l’analyse. J’ose espérer que ces recherches, qui servent de supplément à celles que j’ai données autrefois sur le même objet, pourront intéresser les géomètres.
Pour appliquer ces recherches aux orbes des comètes, j’ai considéré toutes celles que l’on a observées jusqu’en 1807 inclusivement. Leur nombre s’élève à quatre-vingt-dix-sept et, parmi elles, cinquante-deux ont un mouvement direct et quarante-cinq un mouvement rétrograde ; l’inclinaison moyenne de leurs orbes à l’écliptique diffère très peu de la moyenne de toutes les inclinaisons possibles ou d’un demi-angle droit. On trouve par les formules de ce Mémoire que, en supposant les inclinaisons, ainsi que les mouvements directs et rétrogrades, également faciles, la probabilité que les résultats observés devraient se rapprocher davantage de leur état moyen est beaucoup trop faible pour indiquer dans ces astres une tendance primitive à se mouvoir tous sur un même plan et dans le même sens. Mais, si l’on applique les mêmes formules aux mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites, on voit que cette double tendance est indiquée avec une probabilité bien supérieure à celle du plus grand nombre des faits historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute.
