l’expression de la circonférence par une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des produits en nombre infini, expression que Wallis avait donnée. Ce moyen indirect laissait à désirer une méthode directe et générale pour obtenir, non seulement l’approximation du terme moyen du binôme, mais encore celle de beaucoup d’autres formules plus compliquées et qui s’offrent à chaque pas dans l’analyse des hasards. C’est ce que je me suis proposé dans divers Mémoires publiés dans les Volumes de l’Académie des Sciences pour les années 1778 et 1782 [1]. La méthode que j’ai présentée dans ces Mémoires transforme généralement en séries convergentes les intégrales des équations linéaires aux différences ordinaires ou partielles, finies et infiniment petites, lorsqu’on substitue de grands nombres dans ces intégrales. Elle s’étend encore à beaucoup d’autres formules semblables, telles que les différences très élevées des fonctions. Ces séries ont le plus souvent pour facteur la racine carrée de la circonférence, et c’est la raison pour laquelle cette transcendante s’est offerte à Stirling ; mais, quelquefois, elles renferment des transcendantes supérieures dont le nombre est infini.
Parmi les formules que j’ai transformées de cette manière, l’une des plus remarquables est celle de la différence finie de la puissance d’une variable. Mais on a fréquemment besoin, dans les questions de probabilités, de ne considérer qu’une partie de ses termes et de l’arrêter quand la variable, par ses diminutions successives, devient négative. Ce cas a lieu, par exemple, dans le problème où l’on cherche la probabilité que l’inclinaison moyenne des orbes d’un nombre quelconque de comètes est comprise dans des limites données, toutes les inclinaisons étant également possibles, problème dont la solution sert à reconnaître si ces orbes participent à la tendance primitive des orbes des planètes et des satellites pour se rapprocher du plan de l’équateur solaire. En résolvant ce problème, par la méthode que j’ai donnée pour ce genre de questions dans le Volume de l’Académie des Sciences de
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX et X.
