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cette distance, il se fera suivant la direction de la normale. En nommant donc $p$ l’action mutuelle des deux points ou la pression du point $a$ sur la surface, le produit $p\delta f$ sera nul, parce qu’alors $\delta f$ est la variation de la normale, variation qui est nulle lorsque le point $a$ est assujetti à se mouvoir sur la surface.

Cela posé, considérons un des points quelconques $a$ ou $b$ du système. On peut toujours le concevoir comme un point isolé ; mais alors il faut le supposer sollicité, non seulement par des forces extérieures, mais encore par l’action des points du système dont il est infiniment voisin. Soient donc $\mathrm {S}$ la force extérieure qui le sollicite, et $s$ la direction de cette force ; soient encore $f$ la distance de ce point à un autre infiniment voisin, et $p$ l’action mutuelle de ces deux points. On a, par le principe des vitesses virtuelles, qui, comme on l’a vu, a lieu pour un point isolé,

$0=\mathrm {S} \delta s+w\mathrm {S} p\delta 'f,$

le signe caractéristique intégral $\sum$ comprenant tous les termes du même genre que celui devant lequel il est placé, et $\delta 'f$ étant la variation de $f$ due à la variation de la première extrémité de cette distance ou du point que l’on considère. On formera des équations semblables pour chaque point du système. En les réunissant, l’action $p$ dans leur somme sera multipliée par $\delta 'f+\delta ''f,$ $\delta ''f$ étant la variation de $f$ relative à sa seconde extrémité ; en sorte que $\delta 'f+\delta ''f=\delta f.$ On a donc

(1)

$0=\sum \mathrm {S} \delta s+\sum p\delta f.$

Mais on a, par ce qui précède, $0=p\delta f\,;$ par conséquent on a

$0=\sum \mathrm {S} \delta s,$

ce qui est le principe connu des vitesses virtuelles.

J’ai donné, dans le Livre I de la Mécanique céleste, n^o 14 ^[1], l’équation (1), et j’ai cherché, dans le même numéro, à établir que $\sum p\delta f$ est nul. Cela est évident lorsque les points du système sont liés par des

1. Œuvres de Laplace, T. I, p. 42.