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En multipliant l’équation (1) par $\sin \theta '\sin \varpi '$ et en en retranchant l’équation (2) multipliée par $\cos \varpi ',$ on aura

(3)

$\sin \theta \sin \varpi =\sin \theta '\sin \varpi '\left(v-\cos \mathrm {V} {\frac {\partial v}{\partial \cos \mathrm {V} }}\right).$

Si l’on multiplie ensuite l’équation (1) par $\sin \theta '\cos \varpi '$ et qu’on l’ajoute à l’équation (2) multipliée par $\sin \varpi ',$ on aura

(4)

$\sin \theta \cos \varpi =\sin \theta '\cos \varpi '\left(v-\cos \mathrm {V} {\frac {\partial v}{\partial \cos \mathrm {V} }}\right)-\sin \lambda {\frac {\partial v}{\partial \cos \mathrm {V} }}.$

Ces deux équations donneront la loi de la réfraction extraordinaire, lorsque $v$ sera donné en fonction de $\cos \mathrm {V} ,$ et réciproquement. De plus, elles satisferont à la condition que la vitesse du rayon lumineux, dans l’intérieur du cristal, ne dépende que de sa position par rapport à l’axe du cristal.

Nous observerons ici que non seulement $v$ doit être fonction de $\cos \mathrm {V} ,$ mais qu’il ne doit dépendre que des puissances paires de $\cos \mathrm {V} \,;$ car nous avons observé ci-dessus que la vitesse $v$ est la même pour tous les rayons qui forment avec l’axe le même angle. Examinons présentement les lois de la réfraction relatives aux deux expressions les plus simples de la vitesse.

Premier cas.

Le cas le plus simple de tous est celui dans lequel la vitesse $v$ est constante. Les équations (3) et (4) deviennent alors

${\begin{aligned}\sin \theta \sin \varpi =&v\sin \theta '\sin \varpi ',\\\sin \theta \cos \varpi =&v\sin \theta '\cos \varpi '.\end{aligned}}$

En divisant la première par la seconde, on a

$\operatorname {tang} \varpi =\operatorname {tang} \varpi ',$

ce qui montre que les deux rayons incident et réfracté sont dans un même plan perpendiculaire à la face d’incidence. En ajoutant