Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/290

pris sur les directions des deux rayons incident et réfracté. La distance des deux plans passant respectivement par les mêmes points, perpendiculairement à la face et parallèlement à la droite invariable, sera

$p\operatorname {tang} \theta \sin \varpi +p'\operatorname {tang} \theta '\sin \varpi '.$

Enfin la distance des deux plans passant respectivement par les mêmes points, perpendiculairement à la face et à la droite invariable, sera

$p\operatorname {tang} \theta \cos \varpi +p'\operatorname {tang} \theta '\cos \varpi '.$

Si l’on fait varier les angles $\theta ,\varpi ,\theta '$ et $\varpi '$ de manière que les deux points pris sur les directions des rayons soient fixes, ces trois distances resteront les mêmes, et l’on aura les deux équations différentielles

${\begin{aligned}0=&{\frac {pd\theta \sin \varpi }{\cos ^{2}\theta }}+pd\varpi \operatorname {tang} \theta \sin \varpi +{\frac {p'd\theta '\sin \varpi '}{\cos ^{2}\theta '}}+p'd\varpi '\operatorname {tang} \theta '\cos \varpi '.\\0=&{\frac {pd\theta \cos \varpi }{\cos ^{2}\theta }}-pd\varpi \operatorname {tang} \theta \cos \varpi +{\frac {p'd\theta '\cos \varpi '}{\cos ^{2}\theta '}}-p'd\varpi '\operatorname {tang} \theta '\sin \varpi '.\end{aligned}}$

Suivant le principe de la moindre action, la fonction ${\frac {p}{\cos \theta }}+{\frac {p'v}{\cos \theta '}}$ doit être un minimum, $v$ étant la vitesse du rayon dans l’intérieur du cristal lorsqu’il y a pénétré d’une quantité sensible, sa vitesse dans le vide étant prise pour unité ; car on peut négliger la partie de l’intégrale $\int vds$ relative à la courbe imperceptible que décrit le rayon à son passage dans le cristal, et dont nous exprimons l’élément par $ds.$ On a donc

$0={\frac {pd\theta \sin \theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {p'vd\theta '\sin \theta '}{\cos ^{2}\theta '}}+{\frac {p'}{\cos \theta '}}\left({\frac {\partial v}{\partial \theta '}}d\theta '+{\frac {\partial v}{\partial \varpi '}}d\varpi '\right).$

La première des trois équations différentielles précédentes, multipliée par $\sin \varpi$ et ajoutée à la seconde multipliée par $\cos \varpi ,$ donne

${\frac {pd\theta }{\cos ^{2}\theta }}=-{\frac {p'd\theta '}{\cos ^{2}\theta '}}\cos(\varpi '-\varpi )+p'd\varpi '\operatorname {tang} \theta '\sin(\varpi '-\varpi ).$

Cette valeur de ${\frac {pd\theta }{\cos ^{2}\theta }},$ substituée dans la troisième équation différen-