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Nous observerons que, dans cette formule,

$\mathrm {R} ={\frac {1}{r}}-\mathrm {Q} ,$

ce qui donne, en considérant que $u={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{r}},$

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&-m'u'-{\frac {m'u'^{3}r^{2}}{4}}\left[1-3s^{2}+3\cos(2v-2v')\right]\\&-\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha p\right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin v-\ldots .\end{aligned}}$

Or on a, par ce qui précède,

$s=\gamma \sin \left[(1+i)v-\theta \right]+{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}i}}\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha p\right)\sin \lambda \cos \lambda \sin v.$

$\mathrm {R}$ contient donc la fonction

${\begin{aligned}{\frac {3}{4}}m'u'^{3}r^{2}{\frac {\mathrm {D} ^{2}\gamma }{a^{2}i}}\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha p\right)\sin \lambda \cos \lambda \cos(iv-\theta )&\\-\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha p\right){\frac {\mathrm {D} ^{2}\gamma }{r^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda \cos(iv-\theta )&.\end{aligned}}$

Si l’on désigne par $nt$ et $n't$ les moyens mouvements de la Lune et du Soleil, $t$ exprimant le temps, on a, en regardant l’orbite du Soleil comme circulaire.

$m'u'^{3}a^{3}=\left({\frac {n'}{n}}\right)^{2}.$

On sait, de plus, par la théorie de la Lune, que $i$ est à fort peu près égal à ${\frac {3}{4}}\left({\frac {n'}{n}}\right)^{2}\,;$ les termes précédents de $\mathrm {R}$ deviennent ainsi

${\frac {\mathrm {D} ^{2}\gamma }{a^{3}}}\left({\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha p\right)\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right)\sin \lambda \cos \lambda \cos(int-\theta ).$

Maintenant on peut supposer que, dans la formule (T), la caractéristique $\delta$ se rapporte à la quantité ${\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha p\,;$ nous ferons donc cette supposition ; mais alors, pour avoir la valeur complète de $\delta \mathrm {R} ,$ il faut avoir celle de $\delta r,$ car le terme $-{\frac {m'u'^{3}r^{2}}{4}}$ de l’expression de $\mathrm {R}$ donne