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de l’orbite, on a, relativement au cinquième satellite, $\mathrm {K'=12{,}7408K} ,$

ce qui donne

$\theta ={\frac {\mathrm {A} '}{11{,}7408}}.$

V.

J’ai supposé, dans l’analyse précédente, l’équateur de Saturne et son orbite immobiles ; or l’action du Soleil et du dernier satellite de cette planète fait rétrograder les nœuds de son équateur, et son orbite est en mouvement par l’action de Jupiter et d’Uranus ; mais la lenteur de ces divers mouvements rend cette supposition admissible. En effet, le mouvement annuel et rétrograde de l’équateur de Saturne et celui de son orbite sur l’équateur s’élèvent à peine à deux ou trois secondes, et les limites de la variation de l’inclinaison de l’orbite à l’équateur sont toujours très petites. Reprônons, cela posé, l’équation trouvée dans l’article II,

${\frac {d\varpi \cos \varpi }{\sin \varpi }}={\frac {-qd\Pi \sin 2\Pi }{p-q\cos 2\Pi }}.$

En l’intégrant, on aura

$\log \sin \varpi =\log a-{\frac {1}{2}}\log(p-q\cos 2\Pi )+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dp-dq\cos 2\Pi }{p-q\cos 2\Pi }}.$

Soient

$dp=\alpha d\Pi \quad {\text{et}}\quad dq=\alpha 'd\Pi ,$

$\alpha$ et $\alpha '$ étant de très petits coefficients, à raison de la lenteur des variations de la position de l’orbite sur l’équateur de Saturne ; on aura

$\sin \varpi ={\frac {a}{\sqrt {p-q\cos 2\Pi }}}e^{{\frac {1}{2}}\int {\cfrac {(\alpha -\alpha '\cos 2\Pi )d\Pi }{p-q\cos 2\Pi }}},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; d’où l’on voit que l’inclinaison et est à très peu près la même que si $p$ et $g$ étaient constants. Un raisonnement semblable s’applique à l’expres-