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Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {K\cos ^{2}(A-\theta )+K'\cos ^{2}\theta -{\frac {1}{2}}K\sin ^{2}(A-\theta )-{\frac {1}{2}}K'\sin ^{2}\theta } =&p,\\\mathrm {{\frac {1}{2}}K\sin ^{2}(A-\theta )+{\frac {1}{2}}K'\sin ^{2}\theta } =&q\,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \varpi }{\partial v}}=&-q\sin \varpi \sin 2\Pi ,\\{\frac {\partial \Pi }{\partial v}}=&\quad \ p\cos \varpi -q\cos \varpi \cos 2\Pi ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\frac {d\varpi \cos \varpi }{\sin \varpi }}={\frac {-qd\Pi \sin 2\Pi }{p-q\cos 2\Pi }}$

et, en intégrant.

$\sin \varpi ={\frac {a}{\sqrt {p-q\cos 2\Pi }}},$

$a$ étant une constante arbitraire. L’expression précédente de ${\frac {\partial \Pi }{\partial v}}$ donnera donc

$dv={\frac {d\Pi }{\sqrt {(p-q\cos 2\Pi )(p-a^{2}-q\cos 2\Pi )}}},$

équation différentielle dont l’intégration dépend de la rectification des sections coniques. On peut mettre cette équation sous une forme plus simple en faisant

$\operatorname {tang} \Pi ={\sqrt {\frac {p-q}{p+q}}}\operatorname {tang} \Pi '\,;$

elle devient alors

$dv={\frac {d\Pi '}{{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}{\sqrt {1-{\cfrac {a^{2}p}{p^{2}-q^{2}}}-{\cfrac {a^{2}q}{p^{2}-q^{2}}}\cos 2\Pi '}}}}.$

Cette équation donnera, en l’intégrant par les méthodes connues, l’expression de $v$ en $\Pi ',$ et, par le retour des suites, on aura celle de $\Pi '$ en $v.$ On aura ensuite, en faisant ${\frac {q}{p+{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}}}=$ϐ,

$\Pi =\Pi '-{\text{ϐ}}\sin 2\Pi '+{\frac {{\text{ϐ}}^{2}}{2}}\sin 4\Pi '-{\frac {{\text{ϐ}}^{3}}{3}}\sin 6\Pi '+\ldots .$