satellites, on aura, en vertu de leurs attractions et de celle des satellites intérieurs.
![{\displaystyle -r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}=-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b4dc864e0e92b0bd72139cce10f9294084aaad)
étant un coefficient constant dépendant des masses et de la constitution des anneaux et des satellites intérieurs. Soient, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {3m'r^{3}}{4r'^{3}}},\qquad \mathrm {K} '={\frac {\alpha h-{\frac {1}{2}}\alpha \varphi +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} }{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2735ffc186f5012782bac328596687c3c9281f7)
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+2\mathrm {K} \sin \lambda \cos \lambda \sin v-2\mathrm {K} '\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f5e3b65779900624d7a04f81a2c8c59d16a1ec)
d’où l’on tire, en intégrant et négligeant, comme on le peut ici, les constantes arbitraires,
![{\displaystyle s=\mathrm {K} v\sin \lambda \cos \lambda \cos v-\mathrm {K} 'v\sin \gamma \cos \gamma \cos(v-\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89518315d407b5abbc3ce933b85d8da9fbf30924)
Concevons maintenant, par le centre de Saturne, un plan passant par les nœuds de l’équateur avec l’orbite de la planète, et formant l’angle
avec le plan de l’équateur. Soient
l’inclinaison de l’orbite du satellite sur ce nouveau plan, et
la distance du satellite au nœud de son orbite avec ce plan ; enfin soit
la distance de ce nœud au nœud de l’équateur avec l’orbite, que nous supposerons plus avancé en longitude. Si l’on fait varier
de
étant supposé constant, il en résultera pour
une valeur égale à
Si,
étant supposé constant, on fait varier
de
la valeur résultante pour
sera
On aura donc, en faisant tout varier à la fois,
![{\displaystyle \delta \varpi \sin(v+\Gamma )+\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma )=s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbb63e0c40971c726e972c7527ae853d3f471ac)
En égalant cette valeur de
à la précédente, on aura
(1)
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On a, en ne portant l’approximation que jusqu’à la première puis-