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stances respectives au dernier satellite. $\mathrm {V}$ sera, par le n^o 15 cité, la partie de $\mathrm {Q}$ relative à l’attraction de Saturne. En considérant cette planète comme un solide de révolution, ce que l’on peut supposer ici sans erreur sensible, et prenant pour unité son demi-axe, on aura, par le n^o 35 du Livre III de la Mécanique céleste,

$\mathrm {V} ={\frac {1}{r{\sqrt {1+s^{2}}}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}\alpha \varphi -\alpha h}{r^{3}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

$\alpha \varphi$ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur de Saturne, $\alpha h$ étant son ellipticité, et $\mu$ étant le sinus de la déclinaison du satellite relativement à cet équateur. Si l’on nomme $\gamma$ l’inclinaison de l’équateur au plan fixe ou à l’orbite primitive du satellite ; si l’on nomme, de plus, $\psi$ l’arc de cette orbite compris entre l’équateur et l’orbite de Saturne, $v-\psi$ sera le mouvement du satellite, rapporté à son orbite primitive et compté de l’intersection de cette orbite avec l’équateur de la planète. On trouve, par les formules de la Trigonométrie sphérique, que, si l’on néglige le carré de $s,$ on a

$\mu ^{2}=\sin ^{2}\gamma \sin ^{2}(v-\psi )-2s\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi ).$

En substituant donc cette valeur de $\mu ^{2}$ dans $\mathrm {V}$ et négligeant les termes des ordres $\alpha s$ et $s^{2},$ en ne conservant ensuite que les termes multipliés par le sinus ou le cosinus de $v-\psi ,$ on aura

$-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}={\frac {\alpha \varphi -2\alpha h}{r^{2}}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi ).$

Il nous reste à considérer l’action des anneaux de Saturne et de ses six premiers satellites ; or, si l’on considère un satellite intérieur dont la masse soit $m'',$ et dont le rayon de l’orbite soit $r'',$ cette orbite étant située dans le plan de l’équateur de Saturne, on trouvera, par ce qui précède, en supposant $r''$ très petit par rapport à $r,$

$-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}=-{\frac {3m''r''^{2}}{2r^{2}}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi ).$

En considérant donc les anneaux comme la réunion d’une infinité de