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qu’il doit suivre son cours suivant une direction moyenne, entre le plan de l’anneau et celui de l’écliptique. »

L’effort qui entraîne les satellites dans la direction du plan de l’anneau, et dont Cassini ignorait la cause, est l’attraction de Saturne, due à son renflement vers l’équateur, et l’attraction des anneaux. Quant à l’effort qui emporte Saturne et les planètes suivant l’écliptique, on sait maintenant qu’il n’existe point, et que le mouvement de ces corps, à peu près dans le plan de l’écliptique, est dû aux circonstances primitives de ce mouvement ; mais, si l’on substitue à cet effort l’action du Soleil, alors l’explication de Cassini coïncide avec la véritable.

II.

Prenons pour plan fixe celui de l’orbite du septième satellite à une époque donnée ; nommons $s$ la tangente de la latitude du satellite au-dessus de ce plan ; $r$ le rayon projeté de l’orbite supposée circulaire, et $v$ l’angle décrit par la projection de ce rayon sur ce plan. On aura, par le n^o 15 du Livre II de la Mécanique céleste, en observant que $s$ est ici de l’ordre des forces perturbatrices, en négligeant les quantités de l’ordre du carré de ces forces et en prenant pour unité la masse de Saturne, ou, plus exactement, la somme des masses de cette planète, de son anneau et de ses six premiers satellites,

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}},$

$\mathrm {Q}$ étant une fonction que nous allons déterminer.

Pour cela, considérons d’abord l’action du Soleil. Si l’on nomme $x,y,z$ les coordonnées du satellite rapportées au centre de Saturne et au plan de l’orbite primitive du satellite ; $x',y',z'$ celles du Soleil, et $r'$ sa distance au centre de Saturne, on aura, par le n^o 14 du Livre II de la Mécanique céleste,

$\mathrm {Q} =-m'{\frac {xx'+yy'+zz'}{r'^{3}}}+{\frac {m'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}},$