Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/246

l’équation différentielle en $u$ donnera

$0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u-{\frac {1}{h^{2}}}(1+2\alpha v)-{\frac {e{\text{ϐ}}}{h^{2}}}\sin(v-\varpi ),$

d’où l’on tire, en intégrant,

$u={\frac {1}{h^{2}}}(1+2\alpha v)-{\frac {e}{h^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}v\right)\cos(v-\varpi ).$

On voit ainsi que la résistance de l’éther ne produit point d’équation sensible dans le mouvement de l’apogée ; elle ne produit qu’une très petite altération dans l’excentricité de l’orbite.

Pour déterminer la variation qui en résulte dans le moyen mouvement de la Lune, reprenons l’expression de $dt$ dans l’article I ; expression qui devient, à fort peu près,

$dt={\frac {dv}{hu^{2}}}\left(1-{\frac {1}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right).$

En y substituant, pour $u$ et pour $\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}},$ leurs valeurs précédentes, on aura, à très peu près,

$dt=h^{3}dv(1-3\alpha v+\ldots )$

et, par conséquent,

$t=h^{3}\left(v-{\frac {3}{2}}\alpha v^{2}+\ldots \right),$

d’où l’on tire

$v={\frac {t}{h^{3}}}+{\frac {3\alpha t^{3}}{2h^{6}}}.$

Le mouvement de la Lune est donc assujetti, par la résistance de l’éther, à une équation séculaire proportionnelle au carré du temps.

L’équation $(g)$ de l’article I donne

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s-{\text{ϐ}}'{\frac {ds}{dv}}+\ldots ,$