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égal à

${\begin{aligned}{\frac {3}{4}}&+{\frac {15m^{2}(3-2m-g)}{8(2g+2m-2)(2-2m)}}\\&-{\frac {3m^{2}(3-m-g)}{32(2g+m-2)(2-m)}}-{\frac {147m^{2}(3-3m-g)}{32(2g+3m-2)(2-3m)}}.\end{aligned}}$

Nous devons ici faire une remarque importante. On a négligé précédemment les termes multipliés par

${\frac {d\lambda '}{dv}}\cos(v-\theta ')\quad {\text{et par}}\quad \lambda '{\frac {d\theta '}{dv}}\sin(v-\theta ')\,;$

il faut prouver que l’on peut négliger ces termes, sans crainte d’erreur sensible. Soit $\varepsilon \lambda '{\frac {d\theta '}{dv}}\sin(v-\theta ')$ un de ces termes, et conservons-le dans l’équation différentielle en $s_{1}$ elle devient, en n’ayant égard qu’à ce terme,

$0={\frac {d^{2}s_{1}}{dv^{2}}}+s_{1}+\alpha '\lambda \sin(gv-\theta )+\varepsilon \lambda '{\frac {d\theta '}{dv}}\sin(v-\theta ').$

En supposant dans cette équation $g=1,\ \theta =\theta '$ et $s_{1}=\lambda \sin(v-\theta '),$ on aura

$0=\left[(1+\alpha ')\lambda -\left(1-{\frac {d\theta }{dv}}\right)^{2}\lambda +{\frac {d^{2}\lambda }{dv^{2}}}+\varepsilon {\frac {d\theta '}{dv}}\lambda '\right]\sin(v-\theta ')$

$+\left[2{\frac {d\lambda }{dv}}\left(1-{\frac {d\theta '}{dv}}\right)-\lambda {\frac {d^{2}\theta '}{dv^{2}}}\right]\cos(v-\theta ').$

Si l’on égale à zéro le coefficient de $\sin(v-\theta '),$ on aura, à fort peu près,

$\lambda =-{\frac {\varepsilon {\cfrac {d\theta '}{dv}}\lambda '}{\alpha '+{\cfrac {2d\theta '}{dv}}}}\,;$

or $\alpha '$ est incomparablement plus grand que ${\frac {d\theta '}{dv}},$ parce que la période du mouvement des nœuds de la Lune est incomparablement plus courte que celle des noeuds de l’orbite terrestre sur le plan fixe ; $\lambda$ est donc beaucoup moindre que $\lambda ',$ et le terme $\varepsilon {\frac {d\theta '}{dv}}\lambda '\sin(v-\theta ')$ n’ajoute qu’un terme insensible à la valeur de $s_{1}.$ Il en est de même du terme