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Si l’on y suppose ensuite $s_{1}=\lambda \sin(gv-\theta ),$ en regardant $\lambda$ et $\theta$ comme variables, et que l’on désigne par $\alpha '$ le coefficient de

$\lambda \sin(gv-\theta )$

dans cette même équation, la comparaison des coefficients de

$\lambda \sin(gv-\theta )\quad {\text{et de}}\quad \lambda \cos(gv-\theta )$

donnera les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\lambda }{dv^{2}}}-\lambda \left(g-{\frac {d\theta }{dv}}\right)^{2}+\lambda (1+\alpha '),\\0=&{\frac {2d\lambda }{dv}}\left(g-{\frac {d\theta }{dv}}\right)-\lambda {\frac {d^{2}\theta }{dv^{2}}}.\end{aligned}}$

En intégrant cette dernière équation, on a

$\lambda ^{2}\mathrm {A} ={\frac {\mathrm {B} }{g-{\cfrac {d\theta }{dv}}}},$

$\mathrm {B}$ étant une constante arbitraire. L’inclinaison de l’orbe lunaire à l’écliptique vraie n’est donc pas rigoureusement constante ; mais sa variation est insensible, et n’influe point sensiblement sur les équations séculaires de la Lune. On a ensuite, à fort peu près,

$g-{\cfrac {d\theta }{dv}}=1+{\frac {1}{2}}\alpha '+{\frac {d^{2}\lambda }{2\lambda dv^{2}}}.$

On peut négliger ${\frac {d^{2}\lambda }{2\lambda dv^{2}}}$ par rapport à ${\frac {d\theta }{dv}}.$ Si l’on suppose ensuite que $g$ exprime la partie constante de $1+{\frac {1}{2}}\alpha ',$ et que ${\frac {3}{2}}{\text{ϐ}}'m^{2}$ soit le coefficient de $e'^{2}$ dans $\alpha ',$ on aura

$\theta =\mathrm {const} .-{\frac {3}{2}}{\text{ϐ}}'m^{2}\int e'^{2}dt\,;$

en sorte que le mouvement du nœud est assujetti à une équation séculaire additive à sa longitude moyenne, et égale à ${\text{ϐ}}'\mathrm {E} ,\ {\text{ϐ}}'$ étant