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La détermination de ϐ dépend, comme on voit, d’une analyse très délicate, et l’on peut craindre que les quantités négligées n’aient une influence sensible sur cette valeur. Ce qui doit nous rassurer à cet égard, c’est que la même analyse conduit à une valeur fort approchée du mouvement de l’apogée. En prenant pour unité le moyen mouvement de la Lune, celui de son apogée est, à très, peu près, \frac{1}{2}\alpha, et l’on a \frac{1}{2}\alpha=0{,}0086113. Les observations donnent $0{,}00845226$ pour le mouvement de l’apogée, ce qui ne diffère pas de ${\frac {1}{50}}$ du résultat précédent ; on peut donc croire que la valeur trouvée pour ϐ à ce même degré de précision.

IX.

Considérons présentement le mouvement des nœuds. Pour cela, reprenons l’équation différentielle $(g)$ de l’article I. Le mouvement de la Lune étant rapporté à un plan fixe peu incliné à l’écliptique vraie, si l’on néglige les carrés et les produits de $s$ et de $s',$ cette équation devient

$0=\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)$

$+{\frac {3\mathrm {S} u'^{3}}{2u^{4}}}\left[s+s\cos(2v-2v')-{\frac {ds}{dv}}\sin(2v-2v')-2s'\cos 2(v-v')\right].$

La valeur de $s'$ est, par la théorie des planètes, de la forme

$\lambda '\sin(v'-\theta '),$

$\lambda '$ et $\theta '$ variant avec une extrême lenteur. Soit donc

$s=\lambda '\sin(v'-\theta ')+s_{1}\,;$

on aura, en négligeant les quantités multipliées par ${\frac {d\lambda '}{dv}}$ et ${\frac {d\theta '}{dv}},$

${\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s={\frac {d^{2}s_{1}}{dv^{2}}}+s_{1},$

${\begin{aligned}s+&s\cos(2v-2v')-{\frac {ds}{dv}}\sin(2v-2v')-2s'\cos(2v-2v')\\&=s_{1}+s_{1}\cos(2v-2v')-{\frac {ds_{1}}{dv}}\sin(2v-2v').\end{aligned}}$