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pour plus de simplicité, par $t$ le moyen mouvement de la Lune, et observant que ${\frac {\mathrm {S} a^{3}}{a'^{3}}}=m^{2},$ on aura

$v=t-{\frac {3m^{2}}{2}}\int e'^{2}dt\,;$

en sorte que l’équation séculaire du moyen mouvement de la Lune est égale à

$-{\frac {3m^{2}}{2}}\int e'^{2}dt.$

Je nommerai $\mathrm {E}$ cette équation.

Pour avoir l’équation séculaire de l’apogée, reprenons l’équation différentielle en $u$ de l’article précédent, et supposons-y, comme ci-dessus,

$u={\frac {1}{h^{2}}}\left(1-{\frac {3}{4}}\lambda ^{2}\right)-{\frac {e}{a}}\cos(cv-\varpi )+\ldots ,$

mais regardons $e$ et $\varpi$ comme variables, nous aurons

${\begin{aligned}0=\left[e\left(c-{\frac {d\varpi }{dv}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}e}{dv^{2}}}-e(1-\alpha )\right]&\cos(cv-\varpi )\\+\left[2{\frac {de}{dv}}\left(c-{\frac {d\varpi }{dv}}\right)-e{\frac {d^{2}\varpi }{dv^{2}}}\right]&\sin(cv-\varpi )+\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en égalant séparément à zéro le coefficient de $\sin(cv-\varpi ),$

${\frac {2de}{e}}={\frac {d^{2}\varpi }{cdv-d\varpi }}$

et, en intégrant,

$e^{2}={\frac {\mathrm {A} }{c-{\cfrac {d\varpi }{dv}}}},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire. L’excentricité $e$ de l’orbe lunaire n’est donc pas rigoureusement constante ; mais sa variation est insensible et n’influe point sensiblement sur les équations séculaires de la Lune, parce que $e^{2}$ s’y trouvant multiplié par ${\frac {\mathrm {S} a^{3}}{a'^{3}}}$ ou par $m^{2},$ qui est une très petite fraction égale à ${\frac {1}{179}},$ on peut négliger le produit de ${\frac {d\varpi }{dv}}$ par cette fraction.