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En nommant $\delta u,\delta u'$ et $\delta v'$ les variations de $u,u'$ et $v',$ dues à la force perturbatrice, nous aurons, pour l’accroissement du terme précédent,

${\begin{aligned}-{\frac {9\mathrm {S} u'^{3}\delta u}{2u^{4}}}\cos(2v-2v')&+{\frac {9\mathrm {S} u'^{2}\delta u'}{2u^{3}}}\cos(2v-2v')\\&+{\frac {3\mathrm {S} u'^{3}\delta v'}{u^{3}}}\sin(2v-2v').\end{aligned}}$

Les deux derniers termes de cette fonction peuvent être négligés ; car, quoique dans les expressions de $\delta u'$ et de $\delta v',$ les inégalités du mouvement lunaire soient comprises, cependant, comme elles y sont multipliées par $m,$ elles perdent les grands diviseurs qu’elles avaient acquis par les intégrations. Quant au premier terme, en n’y conservant que ce qui est multiplié par $e\cos(cv-\varpi ),$ on trouve qu’il se réduit à

$-{\frac {9\mathrm {S} a^{3}}{4a'^{3}}}\left[\left(1-{\frac {5}{2}}e'^{2}\right)\left(\mathrm {Q} ^{(2)}+4\mathrm {Q} ^{(1)}\right)+{\frac {1}{2}}e'^{2}\mathrm {Q} ^{(6)}-{\frac {7}{2}}e'^{2}\mathrm {Q} ^{(7)}\right]e\cos(cv-\varpi ).$

V.

Développons semblablement le terme

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {du}{u^{2}dv}}\quad {\text{ou}}\quad -{\frac {3\mathrm {S} u'^{3}{\cfrac {du}{dt}}}{2u^{4}}}\sin(2v-2v').$

Ce terme est égal, à très peu près, à la différentielle de

${\frac {\mathrm {S} u'^{3}}{2u^{3}}}\sin(2v-2v'),$

prise par rapport à $\varpi$ et divisée par $d\varpi ,$ en supposant $u'$ et $v'$ constants ; or on a le développement de ${\frac {\mathrm {S} u'^{3}}{2u^{3}}}\sin(2v-2v')$ en changeant les cosinus en sinus dans le développement précédent de

${\frac {\mathrm {S} u'^{3}}{2u^{3}}}\cos(2v-2v'),$

et la condition de $u'$ et de $v'$ constants sera satisfaite, en ne différenciant point les termes de ce développement, multipliés par $me.$ On