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très petit croissent beaucoup par l’intégration de l’expression différentielle du temps $t\,;$ mais ils n’entrent dans le développement de $\mathrm {R}$ qu’au tant qu’ils affectent l’angle $v',$ et alors ils sont multipliés par $m,$ ce qui les rend fort petits ; en sorte que l’on peut les négliger sans erreur sensible. Enfin nous conserverons les termes multipliés par $e'^{2}e\cos(cv-\varpi ),$ parce que de ces termes dépend l’équation séculaire du mouvement de l’apogée. Nous aurons ainsi, en supposant, comme ci-dessus, $s'$ nul,

${\frac {\mathrm {S} u'^{3}\left(1-2s'^{2}\right)}{2u^{3}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}=$

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {S} a^{3}}{2a'^{3}}}\left(1+{\frac {3}{2}}e'^{2}-{\frac {3}{4}}\lambda ^{2}\right)+{\frac {3\mathrm {S} a^{3}}{2a'^{3}}}\left(1+{\frac {3}{2}}e'^{2}\right)e\cos(cv-\varpi )\\-&{\frac {3\mathrm {S} a^{3}}{2a'^{3}}}\left[e'\cos(c'mv-\varpi ')+{\frac {3-2m}{2}}ee'\cos(cv-c'mv-\varpi +\varpi ')\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.{\frac {3+2m}{2}}ee'\cos(cv+c'mv-\varpi -\varpi ')\right].\end{aligned}}$

Nous avons observé qu’il est indispensable de porter, dans ces recherches, l’approximation jusqu’au carré de la force perturbatrice ; or la valeur de $u$ acquiert dans une première approximation, et en n’ayant égard qu’à la première puissance de cette force, une suite de termes que nous désignerons par $\delta u,$ et qui est de la forme suivante :

${\begin{aligned}\delta u={\frac {\mathrm {Q} ^{(0)}}{a}}&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(1)}}{a}}\ \ \cos(2v-2mv)\\&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2)}}{a}}e\,\cos(2v-cv-2mv+\varpi )\\&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(3)}}{a}}e'\cos(c'mv-\varpi ')\\&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(4)}}{a}}ee'\cos(cv-c'mv-\varpi +\varpi ')\\&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(5)}}{a}}ee'\cos(cv+c'mv-\varpi -\varpi ')\\&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(6)}}{a}}ee'\cos(2v-cv-2mv+c'mv+\varpi -\varpi ')\\&+{\frac {\mathrm {Q} ^{(7)}}{a}}ee'\cos(2v-cv-2mv-c'mv+\varpi +\varpi ')\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il nous suffit de considérer les termes précédents, parmi lesquels ceux qui sont multipliés par $e$ acquièrent de grands diviseurs, en