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des variations de ce dernier plan, on aura

${\begin{aligned}n't+\varepsilon '=&v'+2e'\sin(c'v'-\varpi ')+{\frac {3}{4}}e'^{2}\sin(2c'v'-2\varpi '),\\u'=&{\frac {1}{a'\left(1-e'^{3}\right)}}\left[1-e'\cos(c'v'-\varpi ')\right].\end{aligned}}$

L’origine du temps et celle de l’angle $v$ étant arbitraires, nous pouvons supposer $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ nuls, et alors, en faisant ${\frac {n'}{n}}=m,$ la comparaison des valeurs de $nt$ et $n't$ donnera

${\begin{aligned}v'&+2e'\sin(c'v'-\varpi ')+{\frac {3}{4}}e'^{2}\sin(2c'v'-2\varpi ')\\&=mv+2me\sin(cv-\varpi )+{\frac {3}{4}}me^{2}\sin(2cv-2\varpi )+{\frac {1}{4}}m\lambda ^{2}\sin(2gv-2\theta )\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en observant que $c'$ est très peu différent de l’unité,

${\begin{aligned}v'=mv+2me\sin(cv-\varpi )&+{\frac {3}{4}}me^{2}\sin(2cv-2\varpi )+{\frac {1}{4}}m\lambda ^{2}\sin(2gv-2\theta )\\-2e'\sin(c'mv-\varpi ')&-2mee'\sin(cv+c'mv-\varpi -\varpi ')\\&-2mee'\sin(cv-c'mv-\varpi +\varpi ')\\+{\frac {5}{4}}e'^{2}\sin(2c'mv-2&\varpi ').\end{aligned}}$

On pourra, au moyen de ces valeurs de $u'$ et de $v',$ développer les différents termes de l’expression de $\mathrm {R}$ en séries qui seront très convergentes, à cause de la petitesse de $m$ et du peu d’excentricité de l’orbe terrestre ; c’est en cela que consiste le principal avantage de la méthode qui coordonne les séries de la théorie lunaire par rapport aux sinus et aux cosinus d’angles proportionnels à $v.$

III.

Considérons le terme ${\frac {\mathrm {S} u'^{3}\left(1-2s'^{2}\right)}{2u^{3}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}$ de l’expression de $-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}.$ Nous ne conserverons dans le développement de ce terme, parmi les quantités de l’ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, que celles qui sont constantes et celles qui sont multipliées par les sinus ou cosinus d’angles dans lesquels le coefficient de $v$ diffère peu de l’unité. Ces dernières quantités croissant beaucoup par l’intégration de l’équation différentielle $(g)$ de l’article I, les termes du même ordre dans lesquels le coefficient de $v$ est