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tions différentielles de l’article précédent, elles deviennent

$0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u-{\frac {1}{h^{2}\left(1++s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\qquad 0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s,\qquad dt={\frac {dv}{hu^{2}}}\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\begin{aligned}u=&{\frac {1}{h^{2}\left(1++\lambda ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}-e\cos(v-\varpi )\right],\\s=&\lambda \sin(v-\theta ),\end{aligned}}$

$e,\varpi ,\lambda$ et $\theta$ étant quatre constantes arbitraires, dont la première exprime, à très peu près, l’excentricité de l’orbite ; la seconde exprime la longitude de l’apogée ; la troisième exprime la tangente de l’inclinaison de l’orbite au plan fixe, et la quatrième exprime la longitude du nœud ascendant. Le demi grand axe de l’orbite, que nous désignerons par $a,$ sera, en négligeant les quantités de l’ordre $\lambda ^{4},$

${\frac {h^{2}\left(1++\lambda ^{2}\right)}{1-e^{2}}}.$

L’équation $dt={\frac {dv}{hu^{2}}}$ donnera, en l’intégrant et en supposant, pour plus de simplicité, ${\frac {1}{a^{\frac {3}{2}}}}=n,$

$nt+\varepsilon =v+2e\sin(v-\varpi )+{\frac {3}{4}}e^{2}\sin(2v-2\varpi )+{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\sin(2v-2\theta )+\ldots .$

Cette valeur de $nt+\varepsilon$ suppose l’ellipse lunaire immobile ; mais on sait qu’en vertu de la force perturbatrice ses nœuds et son apogée sont en mouvement : alors, en désignant par $(1-c)v$ le mouvement de l’apogée, et par $(g-1)v$ le mouvement rétrograde de ses nœuds, on aura, pour premières valeurs approchées de $nt+\varepsilon$ et de $u,$

${\begin{aligned}nt+\varepsilon =&v+2e\sin(cv-\varpi )+{\frac {3}{4}}e^{2}\sin(2cv-2\varpi )+{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\sin(2gv-2\theta ),\\u=&{\frac {1}{a\left(1-e^{3}\right)}}\left[1+{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}-e\cos(cv-\varpi )-{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\cos(2gv-2\theta )\right].\end{aligned}}$

Si l’on marque d’un accent, relativement au Soleil, les quantités relatives à la Lune, et si, pour plus de simplicité, on prend d’abord pour plan fixe celui de l’orbite solaire, ce que l’on peut faire, vu la lenteur