II.
Développons la valeur de 
Elle devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {S} u'}{\sqrt {1+s'^{2}}}}&\left\{1+{\frac {3}{2}}{\frac {\left[uu'\cos(v-v')+uu'ss'-{\frac {1}{2}}u'^{2}\left(1+s^{2}\right)\right]^{2}}{\left(1+s'^{2}\right)^{2}u^{4}}}\right.\\&\quad \ \ +{\frac {5}{2}}{\frac {\left[uu'\cos(v-v')+uu'ss'-{\frac {1}{2}}u'^{2}\left(1+s^{2}\right)\right]^{3}}{\left(1+s'^{2}\right)^{3}u^{6}}}\\&\quad \ \ \left.-{\frac {\left(1+s^{2}\right)u'^{2}}{2\left(1+s'^{2}\right)u2}}\right\}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f301b770fd438a6b9f315e332c50adbae888f1c8)
On peut, dans la théorie lunaire, s’en tenir à ces termes ; on peut même, dans les termes multipliés par 
négliger les carrés et les produits de 
et de 
on aura ainsi, en ordonnant l’expression de 
par rapport aux puissances de 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} =&{\frac {\mathrm {S} u'}{\sqrt {1+s'^{2}}}}+{\frac {\mathrm {S} u'^{3}}{4u'^{2}(1+s'^{2})^{\frac {5}{2}}}}\\&\times \left[1+3\cos(2v-2v')+12ss'\cos(v-v')-2s^{2}-2s'^{2}-2s^{2}s'^{2}\right]\\&\quad +{\frac {\mathrm {S} u'^{4}}{8u'^{3}(1+s'^{2})^{\frac {7}{2}}}}\left[3\cos(v-v')+5\cos(3v-3v')\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67221b616fa738f84b6c623fb73579c3ba28686d)
Il suffit, dans la recherche qui nous occupe, de considérer les termes multipliés par 
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}+&{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}\\=&-{\frac {\mathrm {S} u'^{3}}{2u^{3}(1+s'^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left[1+3\cos(2v-2v')+6ss'\cos(v-v')-2s'^{2}\right],\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}=&-{\frac {3\mathrm {S} u'^{3}}{2u^{2}(1+s'^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left[\sin(2v-2v')+2ss'\sin(v-v')\right],\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}=&-{\frac {\mathrm {S} u'^{3}}{u^{2}(1+s'^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left[s-3s'\cos(v-v')+s'^{2}s\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b734f1dd9e995998c6db4c2e9dc13c52fee50fe5)
Pour développer ces valeurs en sinus et cosinus d’angles proportionnels à 
il faut déterminer 
et 
en fonctions semblables. Pour cela, nous observerons que, si l’on suppose nul dans les équa-
