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d’où l’on tire, en comparant les coefficients de $dx,dy,dz,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}=&-xu^{3}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}-yu^{2}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}-xzu^{3}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}},\\\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}=&-yu^{3}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}+xu^{2}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}-yzu^{3}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}},\\\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}=&u{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}\,;\end{aligned}}$

on a donc

$x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\,;$

l’équation (a) devient ainsi

$d{\frac {dv}{u^{2}dt}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}dt.$

Cette nouvelle équation, multipliée par ${\frac {2dv}{u^{2}dt}}$ et ensuite intégrée, donne

$(d)\qquad \qquad \qquad dt={\frac {dv}{u^{2}{\sqrt {h^{2}+2\int {\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\cfrac {dv}{u^{2}}}}}}},$

$h$ étant une constante arbitraire. On en tirera le temps $t$ en fonction de $v\,;$ mais il sera plus simple de faire usage de l’équation

$(e)\qquad \qquad \qquad 0={\frac {d^{2}t}{dv^{2}}}+{\frac {2dudt}{udv^{2}}}+u^{2}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dt^{3}}{dv^{3}}},$

que l’on conclut de la précédente, en supposant $dv$ constant.

Si l’on substitue la valeur de $dt$ dans les équations $(b)$ et $(c),$ et, au lieu de $x,y,z,{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}},{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}},{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}},$ leurs valeurs ; elles donneront, en faisant $dv$ constant,

$(f)\quad 0=\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right)\left(h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)-\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}$

$-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {du}{u^{2}dv}},$

$(g)\quad 0=\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)$

$-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}-{\frac {1+s^{2}}{u^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}{\frac {ds}{u^{2}dv}}.$