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Transformons les coordonnées en d’autres plus commodes pour les usages astronomiques, et, pour cela, nommons $v$ l’angle que fait avec l’axe de§ $x$ la projection du rayon vecteur de la Lune sur le plan fixe des $x$ et des $y.$ Soient ${\frac {1}{u}}$ cette projection, et $s$ la tangente de la latitude de la Lune au-dessus de ce plan ; on aura

$x={\frac {\cos v}{u}},\qquad y={\frac {\sin v}{u}},\qquad z={\frac {s}{u}}.$

En marquant d’un accent, pour le Soleil, les lettres $v,u$ et $s,$ on aura

$x'={\frac {\cos v'}{u'}},\qquad y'={\frac {\sin v'}{u'}},\qquad z'={\frac {s'}{u'}}.$

On aura ensuite

$xdy-ydx={\frac {dv}{u^{2}}}\,;$

d’ailleurs, on a

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}dz={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}du+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}dv+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}ds.$

L’équation $x^{2}+y^{2}={\frac {1}{u^{2}}}$ donne

$du=-u^{3}(xdx+ydy)\,;$

celle-ci, $\operatorname {tang} v={\frac {y}{x}},$ donne

$dv=u^{2}(xdy-ydx)\,;$

enfin, l’équation $s=uz$ donne

$ds=udz-zu^{3}(xdx+ydy)\,;$

on a donc

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}dz=&-u^{3}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}(xdx+ydy)+u^{2}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}(xdy-ydx)\\&+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial s}}\left[udz-u^{3}z(xdx+ydy)\right]\,;\end{aligned}}$