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I.

Soient $x,y,z$ les coordonnées du centre de gravité de la Lune, rapportées au centre de la Terre ; soient $x',y',z'$ celles du Soleil, rapportées à la même origine ; soit $\mathrm {S}$ la masse de cet astre, la somme de celles de la Terre et de la Lune étant prise pour unité de masse ; enfin désignons par $\mathrm {R}$ la fonction

{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}-{\frac {\mathrm {S} (xx'+yy'+zz')}{\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.

La différentielle de $\mathrm {R} ,$ prise par rapport à $x$ et divisée par $dx,$ exprimera la force perturbatrice du mouvement lunaire, parallèlement à l’axe des $x\,;$ on aura donc, par les principes connus de Dynamique, en regardant l’élément $dt$ du temps comme constant,

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}\,;

on aura pareillement

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}},\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.\end{aligned}}

C’est à l’intégration de ces trois équations différentielles que se réduit la détermination du mouvement lunaire. Ces équations donnent les suivantes, dans lesquelles aucune différence n’est supposée constante :

(a)\ d{\frac {xdy-ydx}{dt}}=\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}\right)dt,

(b)\ d{\frac {xdx+ydy}{dt}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt}}+{\frac {\left(x^{2}+y^{2}\right)dt}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\right)dt,

(c)\ \left\{{\begin{aligned}x&d{\frac {xdz-zdx}{dt}}+yd{\frac {ydz-zdy}{dt}}\\&=xdt\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}-z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}\right)+ydt\left(y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}-z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\right).\end{aligned}}\right.