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Le terme $-t\sum cf\sin {\text{ϐ}}$ de l’expression de $\theta '$ exprime la diminution séculaire actuelle de l’obliquité de l’écliptique. Les observations laissent encore de l’incertitude sur cet objet ; en prenant un milieu entre leurs résultats, on peut fixer cette diminution à $50''$ dans ce siècle : ainsi $\mathrm {T}$ représentant une année julienne, nous supposerons

$\mathrm {T} \sum cf\sin {\text{ϐ}}=0''{,}5.$

Cette équation donne, par la théorie des planètes,

$\mathrm {T} \sum cf\cos {\text{ϐ}}=0''{,}080333\,;$

on aura donc la précession annuelle des équinoxes égale à

$l\mathrm {T} -0''{,}080333\cot h.$

Delambre a trouvé, par une nouvelle discussion des observations, cette précession égale à $50''{,}1\,;$ partant

$l\mathrm {T} -0{,}080333\cot h=50''{,}1.$

Substituons pour $l$ sa valeur ; mais, pour plus d’exactitude, conservons les carrés de l’excentricité et de l’inclinaison des orbes lunaire et solaire ; on aura, par l’article VIII,

$l\mathrm {T} ={\frac {3m^{2}}{4n}}\mathrm {T} \cos h\mathrm {\frac {2A-B-C}{A}} \left[{\frac {1}{\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\lambda \left(\cos ^{4}{\cfrac {\gamma }{2}}-\sin ^{2}\gamma \right)}{\left(1-e'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],$

$e$ étant l’excentricité de l’orbe solaire, et $e'$ étant l’excentricité de l’orbe lunaire.

Pour réduire en nombres cette valeur de $l\mathrm {T} ,$ nous observerons que l’on a, par observations,

${\begin{alignedat}{2}e=&0{,}016814,\qquad &e'=&0{,}0550368,\\\gamma =&5^{\circ }8'49'',&h=&23^{\circ }28'20''\,;\end{alignedat}}$

la longueur de l’année sidérale est de $365^{\mathrm {j} }{,}256384,$ et celle du jour