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Les intégrales précédentes doivent être prises depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi .$ En intégrant par rapport à $\varpi ,$ on a

$\operatorname {S} \alpha gyd\varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=\alpha gy\gamma -\operatorname {S} \alpha g\gamma d\varpi {\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+\mathrm {const} .$

Il est clair que, aux deux limites de l’intégrale $\varpi =0$ et $\varpi =2\pi ,$ la fonction $\alpha gy\gamma$ est la même, puisque ces limites sont au même point de la surface du sphéroïde ; on a donc

$\alpha gy\gamma +\mathrm {const} .=0$

et, par conséquent,

$\operatorname {S} \alpha gyd\mu d\varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=-\operatorname {S} \alpha g\gamma d\mu d\varpi {\frac {\partial y}{\partial \varpi }}.$

En intégrant par rapport à $\mu ,$ on a

${\begin{aligned}\operatorname {S} \alpha gyd\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi =&\alpha gy\gamma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +\operatorname {S} \alpha gy\gamma {\frac {\mu d\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\\&-\operatorname {S} \alpha g\gamma d\mu {\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +\mathrm {const} .\end{aligned}}$

L’intégrale doit être prise depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1\,;$ or $y$ et $\gamma$ ne sont jamais infinis : ainsi, le radical ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ étant nul à ces limites, on a, à ces mêmes limites,

$\alpha gy\gamma {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +\mathrm {const} .=0$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\operatorname {S} \alpha gy&d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}\\&=\operatorname {S} \alpha gy\gamma {\frac {\mu d\mu d\varpi \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}-\operatorname {S} \alpha g\gamma d\mu d\varpi {\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .\end{aligned}}$

On trouve encore, en intégrant par rapport à $\varpi ,$

${\begin{aligned}\operatorname {S} \alpha gy&d\mu d\varpi {\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\\&=-\operatorname {S} \alpha g\gamma {\frac {d\mu d\varpi \mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}+\operatorname {S} \alpha gy\gamma d\mu d\varpi {\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}\,;\end{aligned}}$