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d’où l’on tire

${\begin{aligned}dr\ =&{\frac {x'dx'+y'x'y'+z'dz'}{r}},\\d\mu =&{\frac {\left(y'^{2}+z'^{2}\right)dx'-x'y'dy'-x'z'dz'}{r^{3}}},\\d\varpi =&{\frac {y'dz'-z'dy'}{y'^{2}+z'^{2}}}.\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans l’équation différentielle précédente en $q$ et comparant séparément les coefficients de $dx',dy'$ et $dz'$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial q}{\partial x'}}=&\mu {\frac {\partial q}{\partial r}}+{\frac {1-\mu ^{2}}{r}}{\frac {\partial q}{\partial \mu }},\\{\frac {\partial q}{\partial y'}}=&{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial q}{\partial r}}-{\frac {\sin \varpi }{r{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}{\frac {\partial q}{\partial \varpi }}-{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }{r}}{\frac {\partial q}{\partial \mu }},\\{\frac {\partial q}{\partial z'}}=&{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial q}{\partial r}}+{\frac {\cos \varpi }{r{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}{\frac {\partial q}{\partial \varpi }}-{\frac {\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi }{r}}{\frac {\partial q}{\partial \mu }}.\end{aligned}}$

On aura ainsi, en observant que, dans les valeurs précédentes de $d\mathrm {N} ,d\mathrm {N} ',d\mathrm {N} '',$ on peut supposer $r=1$ et $f=2,$ en négligeant le carré de $q.$

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\ \,=&\operatorname {S} \alpha gyd\mu d\varpi {\frac {\partial q}{\partial \varpi }},\\{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\ =&\operatorname {S} \alpha gyd\mu d\varpi \left({\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi {\frac {\partial q}{\partial \mu }}-{\frac {\mu \cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial q}{\partial \varpi }}\right),\\{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}=&\operatorname {S} \alpha gyd\mu d\varpi \left(-{\frac {\mu \sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial q}{\partial \varpi }}-{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi {\frac {\partial q}{\partial \mu }}\right).\end{aligned}}$

Déterminons présentement les valeurs de ${\frac {d\mathrm {N} }{dt}},{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}},{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}$ relatives à l’attraction de la couche aqueuse sur le sphéroïde terrestre. Il est clair que, si ce sphéroïde et l’océan qui le recouvre formaient une masse solide, il n’y aurait aucun mouvement dans cette masse, en vertu de l’attraction de toutes ses parties. L’effet de l’attraction de la couche aqueuse sur la mer est donc balancé par celui de l’attraction du sphéroïde terrestre et de la mer sur cette couche ; d’où il suit que l’effet de l’attraction de la couche aqueuse est égal à la somme des effets de l’attraction de la Terre entière sur la couche et de l’attrac-