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Si l’on substitue pour $x,y,z$ leurs valeurs données dans l’article V, on aura l’expression de $\operatorname {S} \delta \mathrm {V} dm,$ en ne faisant varier par rapport à $\delta$ que les quantités $\varphi ,\psi$ et $\theta .$ On peut ici négliger dans $\operatorname {S} \mathrm {V} dm$ les termes dépendants de l’angle $\varphi ,$ parce qu’ils sont encore insensibles après les intégrations ; on peut négliger pareillement les termes dépendants du moyen mouvement de l’astre $\mathrm {L} ,$ car, soit $k\sin(mt+{\text{ϐ}}+\psi )$ un de ces termes, il produira dans $\operatorname {S} \delta \mathrm {V} dm$ le terme $k\delta \psi \cos(mt+{\text{ϐ}}+\psi ),$ et ${\frac {d\psi }{dt}}$ étant beaucoup moindre que $m,$ ce terme sera insensible dans les intégrations. Il suffit donc de conserver dans $\operatorname {S} \mathrm {V} dm$ les termes qui ne sont assujettis qu’à des variations séculaires ; on aura ainsi

$\operatorname {S} \mathrm {V} dm={\frac {\mathrm {L} }{8r'^{3}}}\mathrm {(2A-B-C)} \left[2-3\sin ^{2}\theta -6\sin \theta \cos \theta \sum c\cos(ft+{\text{ϐ}})\right].$

Pour avoir $\operatorname {S} \delta \mathrm {V} dm,$ il faut différentier cette expression par rapport à $\theta$ et à $\psi \,;$ or on a, par l’article VIII, en ne considérant que les variations séculaires de $\theta ,$

$\delta \theta =\sum lc\delta t\sin(ft+{\text{ϐ}}).$

On a, de plus,

$\sum c\cos(ft+{\text{ϐ}})=\sum c\cos \left[(f-l)t+lt+{\text{ϐ}})\right].$

En différentiant cette fonction par rapport à $\psi$ ou $lt,$ on aura

$-l\delta t\sum c\sin(ft+{\text{ϐ}})$

pour sa différence. Ces valeurs étant substituées dans $\operatorname {S} \delta \mathrm {V} ,$ on aura, en négligeant le carré de $c,$

$\operatorname {S} \delta \mathrm {V} dm=0,$

et, par conséquent,

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}=\mathrm {const} .$

Ainsi, $\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}$ étant toujours insensible, $p$ est toujours, à très peu près, constant. On parviendrait au même résultat en considérant les équations (G) de l’article V : il suffirait de multiplier la première par $\mathrm {A} dp,$ la seconde par $\mathrm {B} dq$ et la troisième par $\mathrm {C} dr.$ En les ajoutant ensuite, et substituant dans le second membre de leur somme, au