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Supposons

$\mathrm {V} '=\int {\frac {\mathrm {L} dm}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\,;$

nous aurons

${\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=z{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial z}}.$

Si la Terre est un solide de révolution, $\mathrm {V} '$ est le même lorsque $x$ et ${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$ sont les mêmes ; il est donc fonction de ces deux quantités, d’où il suit que ${\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=0,$ et par conséquent $p=n.$ Voilà donc un cas fort étendu, dans lequel le mouvement de rotation de la Terre autour de son premier axe principal est rigoureusement uniforme.

Considérons maintenant le cas général dans lequel les trois moments d’inertie $\mathrm {A,B,C}$ sont inégaux entre eux. La force vive de la Terre est égale à $\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\,;$ on a donc, par le principe de conservation des forces vives,

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}=\mathrm {const} .+2\operatorname {S} \int \left({\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}dx'+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}dy'+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}dz'\right)dm,$

la caractéristique intégrale $\operatorname {S}$ étant relative à toutes les molécules de la Terre, et la caractéristique intégrale $\int$ se rapportant au temps $t.$ Soit $\delta \mathrm {V}$ la variation de $\mathrm {V} ,$ en ne faisant varier que les quantités relatives au mouvement de la Terre autour de son centre de gravité ; on aura

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}=\mathrm {const} .+2\operatorname {S} \int \delta \mathrm {V} dm\,;$

on a, à très peu près,

${\begin{aligned}\mathrm {SV} dm={\frac {\mathrm {L} }{r'}}&+{\frac {\mathrm {L} x^{2}}{2r'^{5}}}\operatorname {S} \left(2x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\right)dm\\&+{\frac {\mathrm {L} y^{2}}{2r'^{5}}}\operatorname {S} \left(2y'^{2}-x'^{2}-z'^{2}\right)dm\\&+{\frac {\mathrm {L} z^{2}}{2r'^{5}}}\operatorname {S} \left(2z'^{2}-x'^{2}-y'^{2}\right)dm\\\\={\frac {\mathrm {L} }{r'}}&+\mathrm {(B+C-2A)} {\frac {\mathrm {L} x^{2}}{2r'^{5}}}\\&+\mathrm {(C+A-2B)} {\frac {\mathrm {L} y^{2}}{2r'^{5}}}\\&+\mathrm {(B+A-2C)} {\frac {\mathrm {L} z^{2}}{2r'^{5}}}.\end{aligned}}$