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Soient $gt$ le mouvement sidéral du second Soleil sur l’écliptique vraie ; $g+{\frac {d\psi '}{dt}}$ sera sa vitesse angulaire relativement à l’équinoxe réel ; mais on a

${\frac {d\psi '}{dt}}={\frac {d\psi }{dt}}-\cot \theta \sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}})\,;$

cette vitesse est donc égale à

$g+{\frac {d\psi }{dt}}-\cot \theta \sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}}).$

Elle doit être égale à ${\frac {v'}{t}}\,;$ on pourra donc, au moyen de cette égalité, déterminer $k,$ et l’on aura

$k=g+(1-\cos \theta ){\frac {d\psi }{dt}}+{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}}).$

En substituant pour $d\psi$ et $\theta$ leurs valeurs précédentes, on aura

${\begin{aligned}k=g&+l(1-\cos h)-\sin h\sum {\frac {l^{2}c}{f}}\cos(ft+{\text{ϐ}})\\&+(1-\cos h)\sum \left\{\left[\left({\frac {l^{2}}{f}}-l\right)\operatorname {tang} h+l\cot h\right]c\cos(ft+{\text{ϐ}})\right\}\\&+{\frac {1-\cos h}{\sin h}}\sum cf\cos(ft+{\text{ϐ}}).\end{aligned}}$

La partie constante de $k$ est $g+l(1-\cos h)\,;$ ainsi, dans la rigueur, le jour moyen est formé par un quatrième Soleil mû constamment dans l’équateur avec la vitesse $g+l(1-\cos h)\,;$ mais ce Soleil ne passerait pas par l’équinoxe réel en même temps que le second Soleil. En intégrant les termes variables de l’expression de $k,$ on aura, pour l’équation des jours moyens,

${\begin{aligned}-&\sin h\sum {\frac {l^{2}c}{f^{2}}}\sin(ft+{\text{ϐ}})\\&+(1-\cos h)\sum \left[\left({\frac {l^{2}}{f^{2}}}-{\frac {l}{f}}\right)\operatorname {tang} h+{\frac {l}{f}}\cot h\right]c\sin(ft+{\text{ϐ}})\\&+{\frac {1-\cos h}{\sin h}}\sum c\cos(ft+{\text{ϐ}}).\end{aligned}}$