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$\sum c\sin(ft+{\text{ϐ}})$ la somme de tous ces termes ; nous aurons ainsi pour la partie de $\int \mathrm {P} 'dt$ dépendante de l’action du Soleil

$\int \mathrm {P} 'dt=-{\frac {3m}{4}}\sin \theta \cos 2v+{\frac {3m^{2}}{2}}\cos \theta \sum {\frac {c}{f}}\cos(ft+{\text{ϐ}}).$

Considérons présentement l’action de la Lune. En désignant par $\mathrm {L} '$ sa masse et par $a'$ sa moyenne distance à la Terre, en nommant de plus, relativement à cet astre, $v',m',\Gamma ',e',\Lambda '$ et $\gamma '$ ce que nous avons nommé $v,m,\Gamma ,e,\Lambda$ et $\gamma$ relativement au Soleil, et faisant

${\frac {\mathrm {L} }{a'^{3}}}=\lambda m^{2},$

on trouvera, par l’analyse précédente,

$\int \mathrm {P} 'dt=-{\frac {3\lambda m^{2}}{4m'}}\sin \theta \cos 2v'-{\frac {3\lambda m^{2}}{2}}\cos \theta \int \gamma 'dt\sin \Lambda '.$

La fonction ${\frac {\mathrm {XY} }{r'^{2}}}$ introduit encore dans l’intégrale $\int \mathrm {P} 'dt$ le terme

$-{\frac {3m^{2}\lambda }{4}}\sin \theta \int \gamma '^{2}dt\sin 2\Lambda '.$

Ce terme croît considérablement par l’intégration ; mais il est aisé de voir que, malgré cet accroissement, il reste encore insensible. En effet, son maximum est à celui du terme

$-{\frac {3\lambda m^{2}\cos \theta }{2}}\int \gamma 'dt\sin \Lambda '$

comme ${\frac {1}{4}}\gamma '\operatorname {tang} \theta$ est à l’unité ; or on verra bientôt que le second de ces maxima est d’environ $10''$ relativement à l’orbe lunaire rapporté à l’écliptique ; de plus, $\gamma '$ est au-dessous de ${\frac {1}{10}}\,:$ le premier maximum est donc insensible. Les seuls termes sensibles que l’action de la Lune produit dans l’intégrale $\int \mathrm {P} 'dt,$ et par conséquent dans la valeur de $\theta ,$ sont donc ceux auxquels nous avons eu égard. Quelques astronomes ont introduit dans cette valeur une petite inégalité dépendante de la longitude de l’apogée de l’orbe lunaire ; mais on voit, par l’analyse précédente, que cette inégalité n’existe point. Le moyen mouvement de l’apogée lunaire étant à peu près double du mouvement des nœuds