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à la Terre, et $e$ étant l’excentricité de son orbite ; on a, de plus,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {L} }{a^{3}}}=&m^{2},\\{\frac {a}{r'}}=&{\frac {1+e\cos(v-\Gamma )}{1-e^{2}}},\end{aligned}}$

$\Gamma$ étant la longitude de l’apogée solaire ; on aura donc, relativement au Soleil,

${\begin{aligned}\mathrm {P} 'dt=&{\frac {3\mathrm {L} dt}{r'^{5}}}(\mathrm {XY\sin \theta +XZ\cos \theta } )\\=&{\frac {3mdv\left[1+e\cos(v-\Gamma )\right]}{\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\mathrm {XY} }{r'^{2}}}\sin \theta +{\frac {\mathrm {XZ} }{r'^{2}}}\cos \theta \right).\end{aligned}}$

Si l’on substitue pour ${\frac {\mathrm {XY} }{r'^{2}}}$ et ${\frac {\mathrm {XZ} }{r'^{2}}}$ leurs valeurs précédentes en $v,$ on verra d’abord, après avoir développé $\mathrm {P} 'dt$ en sinus de l’angle $v$ et de ses multiples, que les termes dépendants de la longitude $\Gamma$ de l’apogée solaire renferment l’angle $v$ et qu’ainsi ils ne peuvent devenir sensibles par l’intégration. Il n’en est pas ainsi des termes dépendants de la longitude du nœud ; la fonction ${\frac {\mathrm {XZ} }{r'^{2}}}$ introduit dans $\mathrm {P} 'dt$ le terme

$-{\frac {3mdv}{8}}\sin 2\gamma \sin \Lambda \,;$

et, vu la lenteur des variations de $\gamma$ et de $\Lambda ,$ ce terme peut devenir, par l’intégration, très sensible dans la valeur de $\theta \,;$ on aura ainsi, à très peu près, en observant que $\gamma$ et $e$ sont fort petits et en ne conservant parmi les termes multipliés par ces quantités que ceux qui peuvent croître considérablement par les intégrations,

$\int \mathrm {P} 'dt=-{\frac {3m}{4}}\sin \theta \cos 2v-{\frac {3m^{2}}{2}}\cos \theta \int \gamma dt\sin \Lambda .$

La quantité $\gamma \sin \Lambda$ est le produit de l’inclinaison de l’orbe solaire par le sinus de la longitude de son nœud ; or on sait, par la théorie des inégalités séculaires du mouvement des planètes, que ce produit est égal à un nombre fini de termes de la forme $c\sin(ft+{\text{ϐ}}),\ c$ étant un petit coefficient et $f$ étant pareillement très petit, en sorte que l’angle $ft$ croît avec une extrême lenteur. Nous désignerons par