on aura les parties de
et de
qui dépendent de l’action de l’astre
Pour avoir les valeurs complètes de ces variables, il faut leur ajouter les quantités qui dépendent de l’état initial du mouvement. En n’ayant égard qu’à cet état, les équations (F) de l’article IV deviennent
![{\displaystyle dq+\mathrm {\frac {A-C}{B}} nrdt=0,\qquad dr+\mathrm {\frac {B-A}{C}} nqdt=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8163d4813fc3234ae8ad46fbe01663edb49585)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&\mathrm {G} \sin(\lambda t+{\text{ϐ}}),\\r=&{\frac {\lambda \mathrm {B} }{n\mathrm {(C-A)} }}\mathrm {G} \cos(\lambda t+{\text{ϐ}}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c088e4662a47ad329eee2b4b1d83505af0169cc3)
et ϐ étant deux constantes arbitraires, et
étant égal à
![{\displaystyle n{\sqrt {\mathrm {\frac {(B-A)(C-A)}{BC}} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7157e191fb7fb590aa668d30401b6b8aad3da005)
Si l’on substitue pour
et
ces valeurs dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=r\sin \varphi -q\cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5ecddb2215877033ed6c0433676d152e0645da)
on aura, après avoir intégré,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta =h&+{\frac {n\mathrm {(C-A)-\lambda B} }{2n(n+\lambda )\mathrm {(C-A)} }}\mathrm {G} \cos(\varphi +\lambda t+{\text{ϐ}})\\&-{\frac {\lambda \mathrm {B} +n\mathrm {(C-A)} }{2n(n-\lambda )\mathrm {(C-A)} }}\mathrm {G} \cos(\varphi -\lambda t-{\text{ϐ}}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc45ca250438f34dfda2b5ad41a026c3e17e25f)
étant une nouvelle arbitraire. Si la valeur de
était sensible, on le reconnaîtrait par les variations journalières de la hauteur du pôle ; et, puisque les observations les plus précises n’y font remarquer aucune variation de ce genre, il résulte que
est insensible, et qu’ainsi l’on peut négliger les parties de
et de
qui dépendent de l’état initial du mouvement de la Terre.