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Nous pouvons négliger les deux premiers termes de cette expression de ${\frac {d\theta }{dt}},$ parce qu’ils sont insensibles en eux-mêmes, à cause du facteur ${\frac {\mathrm {L(C-B)} }{r'^{2}}}$ qui les multiplie, et que d’ailleurs ils n’augmentent point par l’intégration. Il n’en est pas ainsi du troisième terme, que l’intégration peut rendre sensible, si $i$ est fort petit ; dans ce cas, on peut négliger $i$ relativement à $n,$ et l’on a, à fort peu près,

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\mathrm {B+C-2A} }{2n\mathrm {A} }}k'\sin(it+\varepsilon ).$

On a encore, par l’article II,

$d\psi \sin \theta =rdt\cos \varphi +qdt\sin \varphi ,$

ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta =&{\frac {\mathrm {M'-M} }{2}}\cos(2\varphi +it+\varepsilon )+{\frac {\mathrm {N'-N} }{2}}\cos(2\varphi -it-\varepsilon )\\&+{\frac {\mathrm {M+M'+N+N'} }{2}}\cos(it+\varepsilon )\,;\end{aligned}}$

et, en supposant $i$ très petit, on aura, à très peu près,

${\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta ={\frac {\mathrm {2A-B-C} }{2n\mathrm {A} }}k\cos(it+\varepsilon ).$

Si l’on désigne par $\sum k\cos(it+\varepsilon )$ la somme des termes dans lesquels $\mathrm {P}$ peut se développer, et par $\sum k'\sin(it+\varepsilon )$ la somme des termes dans lesquels $\mathrm {P} '$ peut se développer, $\sum$ étant la caractéristique des intégrales finies, on aura

(H)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\theta }{dt}}=&{\frac {\mathrm {B+C-2A} }{2n\mathrm {A} }}\sum k'\sin(it+\varepsilon ),\\{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta =&{\frac {\mathrm {2A-B-C} }{2n\mathrm {A} }}\sum k\cos(it+\varepsilon ).\end{aligned}}\right.$

En intégrant ces équations sans égard aux constantes arbitraires,