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$\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ peuvent être développés en sinus et cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps ; soient $k\cos(it+\varepsilon )$ un terme quelconque de $\mathrm {P} ,$ et $k'\sin(it+\varepsilon )$ le terme correspondant de $\mathrm {P} '\,;$ on aura, en n’ayant égard qu’à ces termes,

${\begin{aligned}dq+\mathrm {\frac {A-C}{B}} nr\,dt=\mathrm {\frac {A-C}{2B}} dt&\left[\quad (k+k')\cos(\varphi +it+\varepsilon )\right.\\&\left.\ +(k-k')\cos(\varphi -it-\varepsilon )\right],\\dr+\mathrm {\frac {B-A}{C}} nq\,dt=\mathrm {\frac {B-A}{2C}} dt&\left[\quad (k+k')\sin(\varphi +it+\varepsilon )\right.\\&\left.\ +(k-k')\sin(\varphi -it-\varepsilon )\right].\end{aligned}}$

Pour intégrer ces équations, supposons

${\begin{aligned}q=&\mathrm {M} \sin(\varphi +it+\varepsilon )+\mathrm {N} \sin(\varphi -it-\varepsilon ),\\r=&\mathrm {M} '\cos(\varphi +it+\varepsilon )+\mathrm {N} '\cos(\varphi -it-\varepsilon )\,;\end{aligned}}$

nous aurons, en observant que $d\varphi$ est à très peu près égal à $n\,dt,$

${\begin{aligned}\mathrm {M} \ =&{\frac {{\cfrac {k+k'}{2}}\mathrm {(A-C)} \left[n\mathrm {(B+C-A)} +i\mathrm {C} \right]}{(n+i)^{2}\mathrm {CB} -n^{2}\mathrm {(B-A)(C-A)} }},\\\mathrm {M} '=&{\cfrac {{\cfrac {k+k'}{2}}\mathrm {(A-B)} \left[n\mathrm {(B+C-A)} +i\mathrm {B} \right]}{(n+i)^{2}\mathrm {CB} -n^{2}\mathrm {(B-A)(C-A)} }},\\\mathrm {N} \ =&{\frac {{\cfrac {k-k'}{2}}\mathrm {(A-C)} \left[n\mathrm {(B+C-A)} -i\mathrm {C} \right]}{(n-i)^{2}\mathrm {CB} -n^{2}\mathrm {(B-A)(C-A)} }},\\\mathrm {N} '=&{\frac {{\cfrac {k-k'}{2}}\mathrm {(A-B)} \left[n\mathrm {(B+C-A)} -i\mathrm {B} \right]}{(n-i)^{2}\mathrm {CB} -n^{2}\mathrm {(B-A)(C-A)} }}.\end{aligned}}$

On a, par l’article II,

$d\theta =r\,dt\sin \varphi -q\,dt\cos \varphi \,;$

on aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d\theta }{dt}}=&{\frac {\mathrm {M'-M} }{2}}\sin(2\varphi +it+\varepsilon )+{\frac {\mathrm {N'-N} }{2}}\sin(2\varphi -it-\varepsilon )\\&+{\frac {\mathrm {N+N'-M-M'} }{2}}\sin(it+\varepsilon ).\end{aligned}}$