on aura
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{'(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{'(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} ^{'(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997e67bc1bfa513be827cfa1d2049f7eaacd4067)
en sorte que la fonction
est de la même nature que les fonctions
et
l’expression précédente de
deviendra ainsi, en vertu de l’équation (E) de l’article précédent, en substituant pour
sa valeur
et pour
sa valeur ![{\displaystyle a+\alpha a\left(\mathrm {Y} ^{(1)}+\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdbee3275f4eb3b7343e47a21f21a4d68caaaa1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=&\quad \ {\frac {\alpha \mathrm {L} }{r'^{3}}}\mathrm {S} \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(2)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(2)}}{\partial z}}\right)\\&+{\frac {\alpha \mathrm {L} }{r'^{4}}}\mathrm {S} \rho d\left(a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}\right)d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0025016f8e46baf02f3985d4a60c06751bccae)
les différentielles
étant relatives à la variable
Or j’ai démontré, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782 [1], que l’on a généralement, par la condition de l’équilibre des fluides qui recouvrent la Terre, et lorsque
surpasse ![{\displaystyle 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993d53082bc05c266933af9a892e1ce2128547cd)
![{\displaystyle \mathrm {S} \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)={\frac {2i+1}{3}}\mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {S} \rho da^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a952989e7c2d5a1ed8d99d0345bc01b2f438bd37)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
et
étant relatif à la surface de la Terre ; on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha \mathrm {L} }{r'^{4}}}\mathrm {S} \rho d\left(a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}\right)d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)&\\={\frac {7\alpha \mathrm {L} }{3r'^{4}}}\mathrm {SY} ^{(3)}d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)&\mathrm {S} \rho da^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed38fa4bab72b126ff84cb06c9512f6751bc5503)
Si la figure de la surface de la Terre est celle d’un ellipsoïde,
\mathrm Y^{(3)}
est nul, et alors l’expression de
\frac{d\mathrm N}{dt}
se réduit à son premier terme, non seulement à cause de la grandeur de
mais parce que les valeurs de
\mathrm Y^{(3)},\mathrm Y^{(4)},\ldots
sont nulles. Or, quoique la figure elliptique ne satisfasse pas exactement aux degrés mesurés des méridiens, cependant l’ac-
- ↑ Œuvres de Laplace, T. X.