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on aura

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{'(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{'(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} ^{'(i)},$

en sorte que la fonction $\mathrm {U} '^{(i)}$ est de la même nature que les fonctions $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et $\mathrm {U} ^{(i)}$ l’expression précédente de ${\frac {d\mathrm {N} }{dt}}$ deviendra ainsi, en vertu de l’équation (E) de l’article précédent, en substituant pour $dm$ sa valeur $\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\mu d\varpi ,$ et pour $\mathrm {R}$ sa valeur $a+\alpha a\left(\mathrm {Y} ^{(1)}+\mathrm {Y} ^{(2)}+\ldots \right),$

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=&\quad \ {\frac {\alpha \mathrm {L} }{r'^{3}}}\mathrm {S} \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(2)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(2)}}{\partial z}}\right)\\&+{\frac {\alpha \mathrm {L} }{r'^{4}}}\mathrm {S} \rho d\left(a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}\right)d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les différentielles $d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right),d\left(a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}\right),\ldots$ étant relatives à la variable $a.$ Or j’ai démontré, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782 ^[1], que l’on a généralement, par la condition de l’équilibre des fluides qui recouvrent la Terre, et lorsque $i$ surpasse $2,$

$\mathrm {S} \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)={\frac {2i+1}{3}}\mathrm {Y} ^{(i)}\mathrm {S} \rho da^{3},$

les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=-1,$ et $\mathrm {Y} ^{(i)}$ étant relatif à la surface de la Terre ; on aura donc

${\begin{aligned}{\frac {\alpha \mathrm {L} }{r'^{4}}}\mathrm {S} \rho d\left(a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}\right)d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)&\\={\frac {7\alpha \mathrm {L} }{3r'^{4}}}\mathrm {SY} ^{(3)}d\mu d\varpi \left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)&\mathrm {S} \rho da^{3}.\end{aligned}}$

Si la figure de la surface de la Terre est celle d’un ellipsoïde, \mathrm Y^{(3)} est nul, et alors l’expression de \frac{d\mathrm N}{dt} se réduit à son premier terme, non seulement à cause de la grandeur de $r',$ mais parce que les valeurs de \mathrm Y^{(3)},\mathrm Y^{(4)},\ldots sont nulles. Or, quoique la figure elliptique ne satisfasse pas exactement aux degrés mesurés des méridiens, cependant l’ac-

1. Œuvres de Laplace, T. X.