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de cette planète serait elliptique. Pour le démontrer, nous observerons que l’on a, par l’article II,

$x'=\mathrm {R} \mu ,\qquad y'=\mathrm {R} {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\qquad z'=\mathrm {R} {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .$

Si l’on nomme $\nu$ et $\lambda$ ce que deviennent, par rapport à l’astre $\mathrm {L} ,$ les quantités $\mu$ et $\varpi$ relatives à la molécule $dm$ du sphéroïde terrestre, on aura

$x=r'\mu ,\qquad y=\mathrm {R} {\sqrt {1-\nu ^{2}}}\cos \lambda ,\qquad z=r'{\sqrt {1-\nu ^{2}}}\sin \lambda .$

Si l’on substitue ces valeurs dans la fonction $\mathrm {V} ,$ et qu’en suite on la développe par rapport aux puissances de ${\frac {\mathrm {R} }{r'}},$ on aura une série de cette forme

${\frac {\mathrm {L} }{r'}}+{\frac {\mathrm {LR} ^{2}}{r'^{3}}}\mathrm {U} ^{(2)}+{\frac {\mathrm {LR} ^{3}}{r'^{4}}}\mathrm {U} ^{(3)}+\ldots ,$

et il est facile de s’assurer que $\mathrm {U^{(2)},U^{(3)}} ,\ldots$ sont des fonctions telles, que l’on a généralement

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} ^{(i)}.$

Reprenons maintenant l’équation on aura

${\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=\mathrm {S} dm\left(z{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\right)\,;$

on aura

${\begin{aligned}z{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=&\quad \ {\frac {\mathrm {LR} ^{2}}{r'^{3}}}\left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(2)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(2)}}{\partial z}}\right)\\&+{\frac {\mathrm {LR} ^{3}}{r'^{4}}}\left(z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(3)}}{\partial z}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les différences partielles du second membre de cette équation étant prises par rapport à des variables indépendantes de $\mu$ et de $\varpi ,$ si l’on désigne généralement par $\mathrm {U} ^{'(i)}$ la fonction

$z{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial z}},$