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d’un astre qui agit sur la Terre ; $x,y,z$ les coordonnées de son centre, rapportées au centre de gravité de la Terre et à ses trois axes principaux. Soit $r'={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$ et nommons $x',y',z'$ les coordonnées d’une molécule $dm$ du sphéroïde terrestre ; supposons enfin

$\mathrm {V} ={\frac {-\mathrm {L} (xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}+{\frac {\mathrm {L} }{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}.$

Les forces attractives de $\mathrm {L}$ sur la molécule $dm,$ décomposées parallèlement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z,$ en sens opposé à leur origine, et diminuées des mêmes forces attractives sur le centre de gravité de la Terre, que nous considérons ici comme immobile, seront

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}},\quad {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}},\quad {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}.$

Ces trois forces sont celles que nous avons désignées par $\mathrm {P,Q,R}$ dans l’article II. On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\ \,=&\mathrm {S} dm\left(y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}-z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}\right),\\{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\,=&\mathrm {S} dm\left(z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}-x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}\right),\\{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}=&\mathrm {S} dm\left(x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on observe ensuite que l’on a

$x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}=y{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\ \,=&\mathrm {S} dm\left(z{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\right),\\{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\,=&\mathrm {S} dm\left(x{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}-z{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}\right),\\{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}=&\mathrm {S} dm\left(y{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}\right).\end{aligned}}$

Les coordonnées $x',y',z'$ étant très petites relativement à la distance $r'$de l’astre $\mathrm {L}$ au centre de gravité de la Terre, on peut déve-