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jusqu’à $a=1\,;$ on aura par conséquent

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}-{\frac {8\alpha \pi }{27}}\varphi \mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {5\alpha }{3}}\mathrm {SY} ^{(2)}d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {B} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}+{\frac {4\alpha \pi }{27}}\varphi \mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {5\alpha }{3}}\mathrm {SY} ^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right]\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {C} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}+{\frac {4\alpha \pi }{27}}\varphi \mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {5\alpha }{3}}\mathrm {SY} ^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right]\mathrm {S} \rho da^{3}.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {Y} ^{(2)}$ est de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {H} \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)&+\mathrm {H} '\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \\&+\mathrm {H} ''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \\&+\mathrm {H} '''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi \\&+\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,\end{aligned}}$

et j’ai fait voir, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1783 ^[1], que la considération des axes principaux de rotation rend nulles les constantes $\mathrm {H',H'',H''',}$ en sorte que la fonction $\mathrm {Y} ^{(2)}$ se réduit à

$\mathrm {H} \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .$

Les variations de la pesanteur étant à très peu près proportionnelles au carré du sinus de la latitude, la valeur de $\mathrm {H} ^{\text{ıv}}$ doit être très petite ; elle serait nulle, en effet, si la Terre était un solide de révolution. Mais, pour plus de généralité, nous la conserverons dans ces recherches : nous aurons ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}+{\frac {16}{27}}\alpha \pi \left(\mathrm {H} -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {B} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}-{\frac {8}{27}}\alpha \pi \left(\mathrm {H} -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {S} \rho da^{3}-{\frac {8\alpha \pi }{9}}\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\mathrm {S} \rho da^{3},\\\mathrm {C} =&{\frac {8\pi }{15}}\mathrm {S} \rho da^{5}-{\frac {8}{27}}\alpha \pi \left(\mathrm {H} -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {S} \rho da^{3}+{\frac {8\alpha \pi }{9}}\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\mathrm {S} \rho da^{3}.\end{aligned}}$

IV.

Considérons présentement les valeurs de ${\frac {d\mathrm {N} }{dt}},{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}$ et ${\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}$ qui entrent dans les équations différentielles (D) de l’article II. Soient $\mathrm {L}$ la masse

1. Œuvres de Laplace, T. XI.