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Rappelons présentement un théorème remarquable sur les fonctions rationnelles et entières de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin ^{2}\varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos ^{2}\varpi ,\ \mathrm {Y} ^{(i)}$ étant une pareille fonction de l’ordre $i,$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},$

et $\mathrm {U} ^{(i')}$ étant une pareille fonction de l’ordre $i',$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i'(i'+1)\mathrm {U} ^{(i')},$

on a généralement, lorsque les deux nombres $i$ et $i'$ sont différents,

(E)

$\mathrm {SY} ^{(i)}\mathrm {U} ^{(i')}d\mu d\varpi =0,$

les intégrales étant prises dans les limites précédentes.

Cela posé, concevons $\mathrm {R} '^{5}$ développé dans une série de fonctions semblables, en sorte que l’on ait

$\mathrm {R'^{5}=U^{(0)}+U^{(1)}+U^{(2)}+U^{(3)}+U^{(4)}} +\ldots ,$

la fonction $1-\mu ^{2}$ est égale à ${\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\,;$ la partie ${\frac {2}{3}}$ de cette fonction, et généralement toutes les quantités indépendantes de $\mu$ et de $\varpi ,$ sont de la forme $\mathrm {Y} ^{(0)}\,;$ la partie ${\frac {1}{3}}-\mu ^{2}$ est de la forme $\mathrm {Y} ^{(2)},$ puisqu’elle satisfait à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+6\mathrm {Y} ^{(2)}\,;$

on aura donc, en vertu de l’équation (E),

$\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\mathrm {S} d\mu d\varpi \left[{\frac {2}{3}}\mathrm {U} ^{(0)}+\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)\mathrm {U} ^{(2)}\right].$