Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/150

on aura

${\frac {1}{\mathrm {E} }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} '}{\partial v^{2}}}={\frac {m'{\cfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial a}}+n'{\cfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial b}}+p'{\cfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial c}}}{\text{ϐ}}}.$

Enfin, si l’on fait

${\begin{aligned}m''=&{\frac {\partial r}{\partial b}}{\frac {\partial v}{\partial c}}-{\frac {\partial r}{\partial c}}{\frac {\partial v}{\partial b}},\\n''\ =&{\frac {\partial r}{\partial c}}{\frac {\partial v}{\partial a}}-{\frac {\partial r}{\partial a}}{\frac {\partial v}{\partial c}},\\p''\ =&{\frac {\partial r}{\partial a}}{\frac {\partial v}{\partial b}}-{\frac {\partial r}{\partial b}}{\frac {\partial v}{\partial a}},\end{aligned}}$

on aura

${\frac {1}{\mathrm {E} }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} '}{\partial \varpi ^{2}}}=m''{\cfrac {\partial \mathrm {P} }{\partial a}}+n''{\cfrac {\partial \mathrm {P} }{\partial b}}+p''{\cfrac {\partial \mathrm {P} }{\partial c}}.$

L’équation (3), combinée avec les équations $(c),$ donnera ainsi

(4)

$\left\{{\begin{aligned}0=&mr^{2}\cos ^{2}\varpi {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial a}}+nr^{2}\cos ^{2}\varpi {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial b}}+pr^{2}\cos ^{2}\varpi {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial c}}\\&+m'{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial a}}+n'{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial b}}+p'{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial c}}\\&+m''\cos ^{2}\varpi {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial a}}+n''\cos ^{2}\varpi {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial b}}+p''\cos ^{2}\varpi {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial c}}\\&+{\text{ϐ}}\left(2r\mathrm {M} \cos ^{2}\varpi -\mathrm {P} \sin \varpi \cos \varpi \right).\end{aligned}}\right.$

Si l’origine des coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} ,$ au lieu d’être supposée fixe, est rapportée à un centre variable, dont $\mathrm {X',Y',Z'}$ soient les coordonnées, celles-ci étant indépendantes de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ les équations $(b)$ auront encore lieu, pourvu que l’on y change $\mathrm {V} '$ dans

$\mathrm {V} '-\mathrm {EX} {\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dt^{2}}}-\mathrm {EY} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{dt^{2}}}-\mathrm {EZ} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{dt^{2}}}.$

Les équations (2) et (3) subsisteront toujours après ce changement ; l’équation (4) aura donc toujours lieu. Ce cas est celui du mouvement de la Lune autour de la Terre ; l’origine des coordonnées $\mathrm {X,Y,Z}$ est alors au centre de gravité de la Terre ; le point attiré est le centre de gravité de la Lune, et le sphéroïde attirant est l’ensemble des sphéroïdes du Soleil et de la Terre. En effet, la théorie de ce mouvement revient à supposer une masse infiniment petite à la Lune, en donnant