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les sommes des forces relatives à toutes les molécules du corps et parallèles aux axes des $\mathrm {X} ,$ des $\mathrm {Y}$ et des $\mathrm {Z}$ seront

$-\mathrm {{\frac {\partial V}{\partial X}},\quad -{\frac {\partial V}{\partial Y}}} \quad {\text{et}}\quad -\mathrm {\frac {\partial V}{\partial Z}} .$

or, par les propriétés connues du centre de gravité, ce point est mû comme si, la masse du corps y étant réunie, toutes les forces dont chaque molécule est animée lui étaient immédiatement appliquées. En nommant donc $\mathrm {E}$ la masse du corps, on aura

$(b)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&\mathrm {E} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {\partial V'}{\partial X}} ,\\0=&\mathrm {E} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {\partial V'}{\partial Y}} ,\\0=&\mathrm {E} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {\partial V'}{\partial Z}} .\end{aligned}}\right.$

Changeons les coordonnées $\mathrm {X,Y,Z}$ en d’autres plus commodes pour les astronomes. Nommons $r$ le rayon mené du point attiré à l’origine des coordonnées ; soient $v$ l’angle que la projection de ce rayon sur le plan des $\mathrm {X}$ et des $\mathrm {Y}$ fait avec l’axe des $\mathrm {X} ,$ et $\varpi$ l’inclinaison de $r$ sur le même plan, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&r\cos \varpi \cos v,\\\mathrm {Y} =&r\cos \varpi \sin v,\\\mathrm {Z} =&r\sin \varpi .\end{aligned}}$

L’équation (2), rapportée à ces nouvelles coordonnées, devient

(3)

$0=r^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} '}{\partial r^{2}}}+2r{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial r}}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {V} '}{\partial v^{2}}}{\cos ^{2}\varpi }}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} '}{\partial \varpi ^{2}}}-{\frac {\sin \varpi }{\cos \varpi }}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varpi }}.$

En faisant ensuite

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\cos ^{2}\varpi -r{\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}},\\\mathrm {N} =&{\frac {d.r^{2}{\cfrac {dv}{dt}}\cos ^{2}\varpi }{dt}},\\\mathrm {P} =&r{\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}}+r^{2}{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin \varpi \cos \varpi +{\frac {2rdrd\varpi }{dt^{2}}},\end{aligned}}$