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en nommant donc $dt$ l’élément du temps, supposé constant, le mouvement du point attiré par le sphéroïde sera déterminé par les trois équations différentielles

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\\0=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\\0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}.\end{aligned}}\right.$

Considérons présentement une molécule $dm'$ d’un corps attiré par le sphéroïde, et représentons par $x,y,z$ les coordonnées de cette molécule. Si l’on nomme $\mathrm {X,Y,Z}$ les coordonnées du centre de gravité du corps, et si l’on fait

${\begin{aligned}x=&\mathrm {X} +x'',\\y=&\mathrm {Y} +y'',\\z=&\mathrm {Z} +z'',\end{aligned}}$

en sorte que $x'',y'',z''$ soient les coordonnées de la molécule $dm'$ rapportées à son centre de gravité ; en les considérant comme indépendantes de $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z}$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mathrm {X} }},\qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {\mathrm {V} } }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {\mathrm {V} } }{\partial \mathrm {\mathrm {X} } ^{2}}},\qquad \ldots \,;$

ainsi les forces dont la molécule $dm'$ sera animée parallèlement aux axes des $\mathrm {X} ,$ des $\mathrm {Y}$ et des $\mathrm {Z}$ seront

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mathrm {X} }},\quad -{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mathrm {Y} }},\quad -{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mathrm {Z} }}.$

Si l’on fait

$dm'={\text{ϐ}}''dx''dy''dz''$

et

$\mathrm {V} '=\int {\text{ϐ}}''dx''dy''dz'',$

l’équation (1) donnera

(2)

$0=\mathrm {{\frac {\partial ^{2}V'}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V'}{\partial Y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V'}{\partial Z^{2}}}} \,;$