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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

ainsi, pour avoir les variations séculaires des moyens mouvements des trois satellites, il ne s’agit que de déterminer $\delta a,$ ou, ce qui revient au même, le terme proportionnel au temps qui entre dans l’expression du demi grand axe a du premier satellite.

VI.

Si l’on ajoute ensemble les équations (1), (2) et (3) de l’article II, après avoir multiplié la première par $dx,$ la seconde par $dy,$ et la troisième par $dz,$ et que, pour abréger, on suppose

$\mathrm {R} ={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}+\mathrm {R} ={\frac {m''(xx''+yy''+zz'')}{r''^{3}}}-{\frac {\lambda }{m}}\,;$

enfin, si l’on désigne par la caractéristique $\mathrm {d}$ les différences prises en ne faisant varier que les coordonnées relatives au satellite $m,$ on aura

$0={\frac {dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z}{dt^{2}}}+(1+m){\frac {dr}{r^{2}}}+\operatorname {d} \mathrm {R} \,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$0={\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

Si la différentielle $2d\mathrm {R}$ renferme un terme constant $kdt,$ l’intégrale $2\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ renfermera le terme $kt$ proportionnel au temps ; on aura donc après le temps $t,$ en négligeant les quantités périodiques de l’ordre $m,$

$0={\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+kt\,;$

mais, si l’on nomme $a+\delta a$ ce que devient le demi grand axe $a$ après ce temps, on a

$0={\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a+\delta a}},$

partant

${\frac {1+m}{a+\delta a}}={\frac {1+m}{a}}+kt,$