Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/85

71

DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

raison négliger l’action du Soleil ; enfin, on peut faire abstraction de la figure de Jupiter, dont l’influence sur les variations des grands axes est nulle. Soient donc $m,m',m''$ les masses du premier, du second et du troisième satellite de Jupiter, dont nous prendrons la masse $\mathrm {M}$ pour unité de masse. Supposons que, après un temps considérable, les demi grands axes $a,a',a'',\ldots$ se changent dans

$a+\delta a,\qquad a'+\delta a',\qquad a''+\delta a''\,;$

si l’on prend pour le plan des $x$ et des $y$ celui de l’orbite de Jupiter, et que l’on néglige les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites et ceux de $\delta a,\delta a',\delta a'',$ les équations (8) et (9) de l’article précédent donneront, en les différentiant par rapport à la caractéristique $\delta ,$

${\begin{aligned}0=&{\frac {m\delta a}{a^{2}}}+{\frac {m'\delta a'}{a'^{2}}}+{\frac {m''\delta a''}{a''^{2}}},\\0=&{\frac {m\delta a}{\sqrt {a}}}+{\frac {m'\delta a'}{\sqrt {a'}}}+{\frac {m''\delta a''}{\sqrt {a''}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\delta a'\ =&{\frac {-m\delta a}{m'}}\ {\frac {a'^{2}}{a^{2}}}\ {\frac {a^{\frac {3}{2}}-a''^{\frac {3}{2}}}{a'^{\frac {3}{2}}-a''^{\frac {3}{2}}}},\\\delta a''=&{\frac {m\delta a}{m''}}\ {\frac {a''^{2}}{a^{2}}}\ {\frac {a^{\frac {3}{2}}-a'^{\frac {3}{2}}}{a'^{\frac {3}{2}}-a''^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$

Soient $nt,n't,n''t$ les moyens mouvements des satellites $m,m',m''\,;$ on aura, comme l’on sait,

$n^{2}={\frac {1}{a^{3}}},\qquad n'^{2}={\frac {1}{a'^{3}}},\qquad n''^{2}={\frac {1}{a''^{3}}},$

partant

${\begin{aligned}\delta n\ \ =&-{\frac {3}{2}}n{\frac {\delta a}{a}},\\\delta n'\ =&-{\frac {m}{m'}}\delta n{\frac {n'^{\frac {4}{3}}(n-n'')}{n^{\frac {4}{3}}(n'-n'')}},\\\delta n''=&\ \ \quad {\frac {m}{m''}}\delta n{\frac {n''^{\frac {4}{3}}(n-n')}{n^{\frac {4}{3}}(n'-n'')}}\,;\end{aligned}}$