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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

Les équations (6) et (7) de l’article précédent fournissent encore deux relations entre les éléments des orbites ; mais il est plus facile de les tirer immédiatement de l’équation (\theta), en y substituant successivement, au lieu de $\theta ,\theta ',\ldots ,$ les tangentes des inclinaisons des orbites sur le plan des $x$ et des $z$ et sur celui des $y$ et des $z.$ Nommons $\mathrm {I}$ l’angle que forme avec l’axe des $x$ l’intersection du plan de l’orbite de $m$ et du plan des $x$ et des $y.$ Il est aisé de voir, par la Trigonométrie sphérique, que la tangente de l’inclinaison de cette orbite sur le plan des $x$ et des $z$ sera $\mathrm {\sqrt {\frac {1+\theta ^{2}\sin ^{2}I}{\theta ^{2}\cos ^{2}I}}} ,$ et que la tangente de l’inclinaison de la même orbite sur le plan des $y$ et des $z$ sera $\mathrm {\sqrt {\frac {1+\theta ^{2}\cos ^{2}I}{\theta ^{2}\sin ^{2}I}}} \,;$ soit donc

$\theta \sin \mathrm {I} =p,\qquad \theta \cos \mathrm {I} =q\,;$

ces tangentes seront ${\frac {1}{q}}{\sqrt {1+p^{2}}},\ {\frac {1}{p}}{\sqrt {1+q^{2}}}.$ En marquant d’un trait, de deux traits, etc. les lettres $\mathrm {I} ,p,q$ relatives à $m,m'',\ldots ,$ on aura les tangentes des inclinaisons des orbites de ces corps sur le plan des $x$ et des $z$ et sur celui des $y$ et des $z.$ En substituant ensuite ces tangentes, au lieu de $\theta ,\theta ',\ldots ,$ dans l’équation (9), on aura les deux équations suivantes

(10)

$c'=mq{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}+m'q'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}}+m''q''{\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\theta ''^{2}}}}+\ldots ,$

(11)

$c''=mp{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}+m'p'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}}+m''p''{\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\theta ''^{2}}}}+\ldots ,$

dans lesquelles les constantes $c'$ et $c''$ sont invariables.

V.

Sur les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter.

Considérons présentement les mouvements des trois premiers satellites de Jupiter. Nous observerons d’abord que, le mouvement du quatrième n’offrant aucun rapport de commensurabilité avec ceux des trois autres, on peut négliger ici son action. On peut par la même