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DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

substituer dans ces intégrales les valeurs des coordonnées relatives au mouvement elliptique ; en négligeant ensuite les quantités constantes ou périodiques de l’ordre $m^{2},$ on aura entre les éléments des ellipses autant d’équations qu’il y a d’intégrales.

Déterminons d’après ce principe les relations entre les éléments qui résultent des intégrales (5), (6) et (7) de l’article précédent. Si l’on nomme $ea$ l’excentricité de l’orbite de $m,$ et si l’on néglige $m$ vis-à-vis de l’unité, l’aire que son rayon vecteur trace autour de $\mathrm {M} ,$ durant l’instant $dt,$ sera, par la théorie du mouvement elliptique, ${\frac {1}{2}}dt{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}.$ Cette aire projetée sur le plan des $x$ et des $y$ est diminuée dans le rapport du cosinus de l’inclinaison de l’orbite de $m$ sur ce plan au rayon. Soit $\theta$ la tangente de cette inclinaison ; l’aire projetée sera

${\frac {1}{2}}dt{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}\,;$

ce sera, dans l’hypothèse elliptique, la valeur de ${\frac {1}{2}}(xdy-ydx).$

Si l’on nomme pareillement $e',a',e'',a'',\ldots$ les excentricités des orbites de $m',m'',\ldots ,\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ les tangentes des inclinaisons de leurs orbites,

${\frac {1}{2}}dt{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}},\qquad {\frac {1}{2}}dt{\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\theta ''^{2}}}},\qquad \ldots$

seront, dans l’hypothèse elliptique, les valeurs de

${\frac {1}{2}}(x'dy'-y'dx'),\qquad {\frac {1}{2}}(x''dy''-y''dx''),\qquad \ldots$

En substituant ces valeurs dans l’équation (5) de l’article précédent, et en négligeant les quantités constantes ou périodiques de l’ordre $m^{2},$ on aura

(9)

$c=m{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}+m'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}}+m''{\sqrt {\frac {a''\left(1-e''^{2}\right)}{1+\theta ''^{2}}}}+\ldots \,;$

en supposant donc que, après un temps considérable, les excentricités et les inclinaisons des orbites subissent des changements remarquables, elles doivent toujours satisfaire à l’équation précédente dans laquelle la constante $c$ est invariable.