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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

viendra

${\begin{aligned}f=&{\frac {m}{a}}+{\frac {m'}{a'}}+{\frac {m''}{a''}}+\ldots \\&-{\frac {m^{2}(m'+m''+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\\&-{\frac {m'^{2}(m+m''+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }}\left({\frac {2}{r'}}-{\frac {1}{a'}}\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {\left(2mm'dxdx'+2mm''dxdx''+2m'm''dx'dx''+\ldots \right)}{(1+m+m'+\ldots )dt^{2}}}\\&+{\frac {\left(2mm'dydy'+2mm''dydy''+2m'm''dy'dy''+\ldots \right)}{(1+m+m'+\ldots )dt^{2}}}\\&+{\frac {\left(2mm'dzdz'+2mm''dzdz''+2m'm''dz'dz''+\ldots \right)}{(1+m+m'+\ldots )dt^{2}}}\\&+2\lambda -{\frac {m(1+m'+m''+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }}\psi -{\frac {m'(1+m+m''+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }}\psi '-\ldots .\end{aligned}}$

Les quantités

${\frac {mm'dxdx'}{dt^{2}}},\qquad {\frac {mm''dxdx''}{dt^{2}}},\qquad {\frac {mm'dydy'}{dt^{2}}},\qquad \ldots$

sont périodiques, dans la supposition du mouvement elliptique, et les termes que les perturbations y introduiraient seraient de l’ordre $m^{3}\,;$ en négligeant donc les quantités de cet ordre et celles de l’ordre $m^{2},$ qui ne sont que périodiques ou constantes, l’équation précédente prendra cette forme très simple

(8)

$f={\frac {m}{a}}+{\frac {m'}{a'}}+{\frac {m''}{a''}}+\ldots .$

Ainsi, en supposant que la suite des siècles amène des changements remarquables dans les demi grands axes $a,a',\ldots$ des orbites, ils doivent toujours satisfaire à l’équation précédente dans laquelle la constante $f$ est invariable.

On voit par là que, pour avoir entre les éléments des orbites supposées elliptiques les relations que donnent les intégrales précédentes des équations différentielles du mouvement du système, il suffit de