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DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

Cette équation donne, en l’intégrant,

(4)

$\left\{{\begin{aligned}0=f&+m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}+\ldots \\&-{\frac {(mdx+m'dx'+\ldots )^{2}}{(1+m+m'+\ldots )dt^{2}}}-{\frac {(mdy+m'dy'+\ldots )^{2}}{(1+m+m'+\ldots )dt^{2}}}\\&-{\frac {(mdz+m'dz'+\ldots )^{2}}{(1+m+m'+\ldots )dt^{2}}}-2\left({\frac {m}{r}}+{\frac {m'}{r'}}+\ldots \right)-2\lambda ,\end{aligned}}\right.$

$f$ étant une constante arbitraire.

On peut encore obtenir trois intégrales des équations différentielles du mouvement du système, de la manière suivante.

Si l’on multiplie l’équation (1) par

$-my+{\frac {m(my+m'y'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

et l’on multiplie l’équation (2) par

$mx-{\frac {m(mx+m'x'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }}\,;$

si l’on multiplie pareillement la première des équations relatives à $m'$ par

$-m'y'+{\frac {m'(my+m'y'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

et la seconde par

$m'x'-{\frac {m'(mx+m'x'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

et ainsi du reste ; si l’on ajoute ensuite toutes ces équations, en observant que

$0=x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}-y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+x'{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+\ldots ,$

$0={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+\ldots ,\qquad 0={\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}}+\ldots ,$