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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

et l’équation (3) par

$2mdz-{\frac {2m(mdz+m'dz'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

si l’on multiplie pareillement la première des équations différentielles relatives à $m'$par

$2m'dx'-{\frac {2m'(mdx+m'dx'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

la seconde par

$2m'dy'-{\frac {2m'(mdy+m'dy'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

la troisième par

$2m'dz'-{\frac {2m'(mdz+m'dz'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

et ainsi du reste ; si l’on ajoute ensuite toutes ces équations et si l’on observe que

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x''}}+\ldots ,\\0=&{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial y''}}+\ldots ,\\0=&{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial z'}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial z''}}+\ldots ,\\r=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\r'=&{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on formera l’équation suivante :

${\begin{aligned}0=2m&{\frac {dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z}{dt^{2}}}+2m'{\frac {dx'd^{2}x'+dy'd^{2}y'+dz'd^{2}z'}{dt^{2}}}+\ldots \\&-2{\frac {mdx+m'dx'+\ldots }{1+m+m'+\ldots }}\ {\frac {md^{2}x+m'd^{2}x'+\ldots }{dt^{2}}}\\&-2{\frac {mdy+m'dy'+\ldots }{1+m+m'+\ldots }}\ {\frac {md^{2}y+m'd^{2}y'+\ldots }{dt^{2}}}\\&-2{\frac {mdz+m'dz'+\ldots }{1+m+m'+\ldots }}\ {\frac {md^{2}z+m'd^{2}z'+\ldots }{dt^{2}}}\\&+2\left({\frac {mdr}{r^{2}}}+{\frac {m'dr'}{r'^{2}}}+\ldots \right)-2d\lambda .\end{aligned}}$